Математика: X^2*y^ +y=0 y^ +3y^ -4y=0 решить два дифференциальных уравнения

Разделим обе части уравнения на , получимПроинтегрируем обе части, т.е.Сделаем замену. Пусть , тогдаПо т. Виета: Возвращаемся к заменеОбщее решение ...

X^2*y^'+y=0 y^''+3y^'-4y=0 решить два дифференциальных уравнения

Ответы

romsik1999 03.10.2020 19:16

$x^2\cdot y'+y=0$

$\frac{dy}{dx} =-\frac{y}{x^2}$
Разделим обе части уравнения на

, получим

$\frac{dy}{y\cdot dx} =- \frac{1}{x^2}$
Проинтегрируем обе части, т.е.
$\ln |y|= \frac{1}{x} +C\\ \\ y=e^{ \frac{1}{x}+C }$

$y''+3y'-4y=0\\ \\ \frac{d^2y}{dx^2} +3\cdot \frac{dy}{dx}-4y=0$

Сделаем замену. Пусть $y=e^{ \beta x},\,\,\,\,\, \beta -const$ , тогда

$\beta ^2e^{ \beta x}+3 \beta e^{ \beta x}-4e^{ \beta x}=0\\ e^{ \beta x}( \beta ^2+3 \beta -4)=0\\ \beta ^2+3 \beta -4=0$
По т. Виета:
$\beta _1=-4\\ \beta _2=1$

Возвращаемся к замене

$y_1=e^{ \beta x}=C_1\cdot e^{-4x}\\ y_2=e^{ \beta x}=C_2\cdot e^{ x}$

Общее решение $y=C_1\cdot e^{ -4x}+C_2\cdot e^{ x}$