Высоты треугольника пересекаются в точке O.
Величина угла ∡ BAC = 85°, величина угла ∡ ABC = 79°.
Определи угол ∡ AOB.

Чтобы определить угол ∡ AOB, нам понадобится использовать свойства пересекающихся высот треугольника.

Первое, что мы можем сделать, это использовать свойство пересекающихся высот треугольника, которое говорит о том, что точка пересечения высот делит каждую высоту на две сегменты, причем отношение этих сегментов равно другому отношению, на которое эти высоты делятся.

В данном случае, мы имеем одну высоту, пересекающую другую высоту. Давайте обозначим точки пересечения высот как D и E. Тогда отрезки AD и DB являются сегментами высоты, пересекающей BC, а отрезки AE и EC являются сегментами высоты, пересекающей AC.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ADC и BDE. По свойству пересекающихся высот мы знаем, что отношение AD к DB равно отношению AE к EC. То есть, мы можем записать равенство:

AD/DB = AE/EC

Давайте обозначим угол ∡ AOB как х и используем эту информацию для решения задачи.

Для начала, давайте рассмотрим треугольники ABC и ABD. У них есть общий угол ∡ ABD (он же ∡ ABC) и у них есть одинаковое отношение сторон AB и BD, так как AB является общей стороной для этих треугольников. Поэтому эти треугольники подобны.

По свойству подобных треугольников отношение сторон, соответствующих углу ∡ ABD, должно быть равно отношению сторон, соответствующих углу ∡ ABC. То есть, мы можем записать равенство:

AB/BD = AC/AB

Теперь, используя то, что у нас есть:

AD/DB = AE/EC (1)

AB/BD = AC/AB (2)

Мы можем выразить BD через AD и AB, заменив BD в уравнении (2) с помощью уравнения (1):

AB/(AD/DB) = AC/AB

AB^2 = AD * AC

Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение для треугольника AOD:

AD/OD = tan(∡ AOD)

Заменяя AD через AB и AC, мы получаем:

AB^2/OD = tan(∡ AOD) * AC

AB^2 = OD * tan(∡ AOD) * AC

Теперь, рассмотрим треугольник BOE, где OE является высотой. У треугольника BOE есть общий угол ∡ BOE (он же ∡ BAC) и у него есть одинаковое отношение сторон BO и OE, так как BO является общей стороной для этих треугольников. Поэтому эти треугольники подобны.

По свойству подобных треугольников отношение сторон, соответствующих углу ∡ BOE, должно быть равно отношению сторон, соответствующих углу ∡ BAC. То есть, мы можем записать равенство:

BO/OE = BC/BO

Теперь заменим BC через AB и AC, используя те же соотношения, которые мы использовали ранее:

AC/AB = BC/AB

BC = AC * AB/AB

Теперь мы можем заменить BC и OE в уравнении:

BO/OE = AC * AB/AB * OE

BO = OE * AC

Теперь рассмотрим треугольник AOE. У него есть общий угол ∡ AOE (он же ∡ AOB) и у него есть одинаковое отношение сторон AO и OE, так как AO является общей стороной для этих треугольников. Поэтому эти треугольники подобны.

По свойству подобных треугольников отношение сторон, соответствующих углу ∡ AOE, должно быть равно отношению сторон, соответствующих углу ∡ AOB. То есть, мы можем записать равенство:

AO/OE = AC/OE

AO = AC

Теперь мы можем заменить AO и BO в уравнении:

AB^2 = OD * tan(∡ AOB) * AC

OE * AC = OD * tan(∡ AOB) * AC

OE = OD * tan(∡ AOB)

AC = OD * tan(∡ AOB)

Теперь мы можем сократить AC с обеих сторон:

OE = OD * tan(∡ AOB)

Теперь мы можем сократить OD с обеих сторон:

1 = tan(∡ AOB)

∡ AOB = arctan(1)

∡ AOB = 45°

Таким образом, мы определяем, что угол ∡ AOB равен 45°.