Высота правильной треугольной пирамиды равна 40 см, а двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен 30°. Вычисли объём пирамиды.

Добрый день, ученик! Давайте решим эту задачу вместе.

Для начала, нужно разобраться в определениях и формулах. Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является правильным треугольником, а все боковые грани равны между собой. Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) * S * h, где V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Теперь перейдем к решению задачи. У нас даны высота пирамиды (h = 40 см) и двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды (угол = 30°). Нам нужно найти объем пирамиды (V).

Важно отметить, что угол между боковой гранью и плоскостью основания является двугранным, то есть он измеряется и от основания пирамиды и от вершины. Для решения задачи, нам нужно использовать понятие синуса этого угла.

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды (S). Так как основание пирамиды - правильный треугольник, площадь можно вычислить по формуле S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Шаг 2: Найдем длину стороны треугольника (a). Для этого, воспользуемся тригонометрическим соотношением: sin(30°) = (a/2)/h, где h - высота пирамиды. Мы знаем, что sin(30°) равен 1/2, поэтому можем переписать уравнение как: (1/2) = (a/2)/40.

Шаг 3: Решим уравнение находим значение a с помощью простых математических операций. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: 1 = a/40 * 2. Затем, умножим обе части на 40: 40 = a.

Шаг 4: Подставим найденное значение a в формулу для площади основания. S = (40^2 * √3) / 4. Сократим выражение в скобках: S = 1600 * √3 / 4. Затем, поделим 1600 на 4: S = 400 * √3.

Шаг 5: Наконец, вычислим объем пирамиды, подставив найденные значения S и h в формулу V = (1/3) * S * h. V = (1/3) * 400 * √3 * 40. Упростим выражение в скобках: V = (400 * 40 * √3) / 3. Умножим 400 на 40 и поделим на 3: V = 16000 * √3 / 3.

Получается, что объем пирамиды равен (16000 * √3) / 3 кубических сантиметров. Вот и все!