Выразите симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены -2x^2+7xy-2y^2=0

Хорошо! Для начала разберемся, что такое симметрический многочлен и элементарный симметрический многочлен.

Симметрический многочлен от двух переменных x и y - это многочлен, в котором переменные x и y могут быть переставлены без изменения самого многочлена. То есть, если мы заменим x на y и y на x, то многочлен останется таким же.

Элементарные симметрические многочлены - это многочлены, которые строятся на основе корней уравнения. Для нашего уравнения -2x^2+7xy-2y^2=0, рассмотрим его корни:

-2x^2+7xy-2y^2=0

По теореме Виета, сумма корней данного многочлена равна отношению коэффициента при x в выражении (-7y) к коэффициенту при x^2, то есть x1 + x2 = -7y/-2 = 7y/2.

Произведение корней равно отношению свободного члена (константы) в уравнении к коэффициенту при x^2, то есть x1 * x2 = -2y^2/-2 = y^2.

Теперь зная сумму корней (7y/2) и их произведение (y^2), мы можем записать элементарные симметрические многочлены.

Первый элементарный симметрический многочлен S1 равен сумме корней, то есть S1 = x1 + x2 = 7y/2.

Второй элементарный симметрический многочлен S2 равен произведению корней, то есть S2 = x1 * x2 = y^2.

Теперь мы можем выразить симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены.

Для нашего уравнения -2x^2+7xy-2y^2=0, мы можем записать его в виде:

(x + y)(-2x + y) = 0

Теперь давайте разложим это уравнение на множители:

x + y = 0 или -2x + y = 0

Для первого случая x + y = 0, мы можем записать симметрический многочлен как:

x + y = 0 => x = -y

Теперь подставим x = -y в элементарные симметрические многочлены:

S1 = x1 + x2 = (-y) + (-y) = -2y

S2 = x1 * x2 = (-y) * (-y) = y^2

То есть, симметрический многочлен при x + y = 0 равен -2y + y^2.

Для второго случая -2x + y = 0, мы можем записать симметрический многочлен как:

-2x + y = 0 => y = 2x

Теперь подставим y = 2x в элементарные симметрические многочлены:

S1 = x1 + x2 = x + 2x = 3x

S2 = x1 * x2 = x * 2x = 2x^2

То есть, симметрический многочлен при -2x + y = 0 равен 2x^2 + 3x.

Итак, мы выразили симметрическое уравнение -2x^2+7xy-2y^2=0 через элементарные симметрические многочлены. При x + y = 0 он равен -2y + y^2, а при -2x + y = 0 он равен 2x^2 + 3x.