1. Математика
  2. Выразить [tex]\sin^5(\varphi)[/tex]

Выразить \sin^5(\varphi) и \cos^5(\varphi) через первые степени синусов и косинусов аргументов, кртаных \varphi

John009 John009    3   04.01.2020 18:20    1

Ответы
Marlie Marlie  23.08.2020 12:11

Будем использовать формулу Эйлера:

\sin \varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i};~~~ \cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.

И по формуле бинома Ньютона

(a+ b)^5=a^5+5a^4b+10b^2a^3+10b^3a^2+5b^4a+b^5\\ (a-b)^5=a^5-5a^4b+10b^2a^3-10b^3a^2+5b^4a-b^5

\sin^5\varphi=\left(\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\right)^5=\dfrac{1}{32i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})^5=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-5e^{4i\varphi}e^{-i\varphi}+\\ \\ \\+10e^{-2i\varphi}e^{3i\varphi}-10e^{-3i\varphi}e^{2i\varphi}+5e^{-4i\varphi}e^{i\varphi}-e^{-5i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}-5e^{3i\varphi}+5e^{-3i\varphi}+10e^{i\varphi}-10e^{-i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\underbrace{\dfrac{e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}}{2i}}_{\sin 5\varphi}-5\cdot \underbrace{\dfrac{e^{3i\varphi}-e^{-3i\varphi}}{2i}}_{\sin 3\varphi}+10\cdot \underbrace{\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}}_{\sin \varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\sin5\varphi-5\sin3\varphi+10\sin\varphi\Big)

Аналогично для \cos^5\varphi также делается как и с синусом.

\cos^5\varphi=\dfrac{1}{16}\Big(\cos5\varphi+5\cos3\varphi+10\cos \varphi\Big)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
TanyaMakarova26 TanyaMakarova26  07.04.2021 17:41
Решите ) Нужно Заранее огромное >...
DetaRUSION DetaRUSION  07.04.2021 17:41
Решение уравнения 3400 + X / 1000 равно 7 / 600​...
Veronika691 Veronika691  07.04.2021 17:41
Площадь прямоугольного треугольника составляет 45 см2. Рассчитайте длину катетеров, если их соотношение составляет 2:5. Запиши катетера в порядке возрастания!...
ivankasranka2 ivankasranka2  07.04.2021 17:42
4)|-х| : |6| = |-5| с матешей​...
dasha20079 dasha20079  07.04.2021 17:42
Скажите куб числа таблицу​...
lyubimov2006 lyubimov2006  07.04.2021 17:43
надо 3 задание решение мерки и таблицу...
imamverdueffsa imamverdueffsa  07.04.2021 17:43
На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций на нефть в течении десяти дней февраля .1 февраля бизнесмен купил 48 акций,3 февраля продал 20 акций,а 8 февраля продал ещё...
ПолинаКорышкова ПолинаКорышкова  07.04.2021 17:44
На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций на нефть в течении десяти дней февраля .1 февраля бизнесмен купил 48 акций,3 февраля продал 20 акций,а 8 февраля продал ещё...
smokeech smokeech  07.04.2021 17:44
6 5/9 - 1 5/18- (-4 7/18) + 2/9 -2 8/9 1,5- 2 4/7 + 4 3/14- 3,25 + 5/7- 1 17/28 Решите эти два примера...
736Nikolay11111111 736Nikolay11111111  07.04.2021 17:44
Среди некромантов провели опрос. Был задан вопрос: Какое домашнее животное у Вас есть? . По результатам опроса выяснилось, что у 200 человек есть кошка, у 150 - собака, у 10*P...

Популярные вопросы