1. Математика
  2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями {x = 3 cos t, y = 4 sin t,
y >= 2√3.

Ryuuko Ryuuko    1   09.01.2021 18:43    0

Ответы
Arituk Arituk  08.02.2021 18:47

Пошаговое объяснение:

\left \{ {{x=3cost} \atop {y=4sint}} \right. ;       y\geq 2\sqrt{3}

для простоты рисования графика, отмечу, что мы фактически имеем эллипс

\frac{x^2}{3^2} +\frac{y^2}{4^2} =1

вот рисуем этот эллипс и прямую у = 2√3. в осях ох   оу  мы нарисовали  график и видим все границы по х и у

теперь нам надо перейти к пределам интегрирования по t

у = 2√3 = 4sin t  ⇒  t₁ = π/3;  t₂= 2π/3

однако, мы видим, что нужная нам фигура состоит из двух симметричных относительно оси оу фигур. найдем площадь одной и умножим потом на 2

надл найти "высшую" точку эллипса. это будет точка при х = 0

х = 0 = 3cost  ⇒ t = π/2

вот и все, теперь считаем интергал

S=2\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {x(t)y'(t)} \, dt =2\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {3cost*4cost} \, dt=24\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {cos^2t}\,dt=

=24\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {0.5(cos(2t)+1)} \, dt =12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {(cos(2t)+1)} \, dt =12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {cos(2t)} \, dt +12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {} \, dt =

теперь для первого интеграла мы сделаем замену u=2t; du=2dt, тогда в этом интеграле поменяются пределы интегрирования  

верхний станет π, а нижний 2π/3, и вот

=6\int\limits^\pi _{2\pi /3} {cosu} \, du+12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {} \, dt=6sinuI_{2\pi /3} ^\pi +12tI_{\pi /3}^{\pi /2}= -3\sqrt{3} +2\pi


Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями {x = 3 cos t, y = 4 sin t, y >= 2√3.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
lolkek213 lolkek213  16.05.2019 09:05
Даны две независимые дискретные случайны величины х и у , заданные своими законами распределения . найти ожидание , дисперсию и среднее квадратичное отклонение для случайной...
ALMUGGG ALMUGGG  16.05.2019 09:04
Дана правильная треугольная призма. диагональ боковой грани с основанием образует угол 60 градусов. длина бокового ребра призмы- 4 см. найти длину основания призмы...
fedyuningleb20 fedyuningleb20  16.05.2019 09:03
5. өрнектер жазып, есептерді шығар.а) жолда 9 басқатырғыны шешіп, 12 теңдеу және 6 есепшығарды. барлығы неше тапсырма орындады? ә) қ турнирге әрқайсысында 4 6 командақатысты....
Акерке2006 Акерке2006  16.05.2019 09:02
Соч по 6 класс за 4 четверть .только 6 и 7​...
SosaLegor312lok SosaLegor312lok  16.05.2019 09:01
Вычисли площадь закрашенной части фигуры. номер 7 ....
Qwerty1246 Qwerty1246  16.05.2019 08:58
Даны треугольники мкр и м1к1р1. известно что мк=7см кр=5см, мр=10см, м1к1=14см. м1р1=20см. углы м и м1 равны. найдите длину стороны к1р1 и периметр м1к1р1...
UAola UAola  16.05.2019 08:58
Z=x^2+2x+xy+y^2-yнайдите частные производные функции ​...
Dania243205 Dania243205  06.09.2020 07:54
1,3*0,54 и 0,547,6*0,54 и 7,65,17*3,8 и 2,9*5,170,35а и а​...
Танек47896 Танек47896  06.09.2020 07:53
Номер 25 зделать с полным решением а номер 29 просто написать в порядке возрастания без решения...
Risha000chaR Risha000chaR  06.09.2020 07:53
AB=24 см CB=15 см Знайти AC BD...

Популярные вопросы