Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=3 sqrtx, y=3x

Добрый день! С удовольствием помогу вам решить задачу.

Для начала, давайте разберемся, как выглядит график каждой из линий, чтобы иметь ясное представление о фигуре, ограниченной этими линиями.

Линия y = 3 sqrt(x) - это парабола, которая открывается вверх и проходит через точку (0, 0). Для построения её графика, можно выбрать несколько значений x и, используя соотношение y = 3 sqrt(x), посчитать соответствующие значения y. Например, если мы возьмем x равным 0, 1, 4 и 9, соответствующие значения y будут равны 0, 3, 6 и 9. Поделив каждое значение y на 3, мы получим значения y для параболы y = sqrt(x). Таким образом, первая точка графика параболы будет (0, 0), вторая точка (1, 1), третья точка (4, 2) и четвертая точка (9, 3).

Линия y = 3x представляет собой обычную прямую с наклоном вверх и проходящую через начало координат (0, 0). Очевидно, что каждое значение y на этой линии будет втрое больше, чем соответствующее значение x. Таким образом, если мы возьмем x равным 0, 1, 3 и 6, соответствующие значения y будут равны 0, 3, 9 и 18.

Теперь нам нужно найти точки пересечения этих двух линий. Мы можем решить систему уравнений y = 3 sqrt(x) и y = 3x, подставив значение выражения второго уравнения вместо y в первом.

Таким образом, мы имеем:
3 sqrt(x) = 3x.

Для удобства дальнейших вычислений, возведем обе части уравнения в квадрат:
(3 sqrt(x))^2 = (3x)^2,
9x = 9x^2.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
9x^2 - 9x = 0.

Мы можем факторизовать это уравнение следующим образом:
9x (x - 1) = 0.

Таким образом, мы получаем два значения x: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y, подставив найденные значения x обратно в одно из исходных уравнений. Например, для x = 0:
y = 3 sqrt(0) = 0.

И для x = 1:
y = 3 sqrt(1) = 3.

Таким образом, мы нашли две точки пересечения линий: (0, 0) и (1, 3).

Теперь перейдем к вычислению площади фигуры, ограниченной этими двумя линиями. Мы можем разделить эту фигуру на две части - треугольник и трапецию.

Первое, найдем площадь треугольника. Для этого мы можем использовать формулу площади треугольника: S = (1/2) * основание * высота. У нас есть треугольник с основанием, равным длине отрезка между точками пересечения линий, а высота этого треугольника равна разности между значениями y на обеих линиях для соответствующих точек пересечения.

Для нашего треугольника, основание равно 1 (разница между значениями x для точек пересечения), а высота равна 3 (разница между значениями y для точек пересечения). Подставим эти значения в формулу:
S_треугольника = (1/2) * 1 * 3 = 1.5.

Теперь, найдем площадь трапеции. Для этого нам понадобятся два параллельных отрезка - один на линии y = 3 sqrt(x), а другой на линии y = 3x. Мы можем использовать основания трапеции в качестве этих отрезков.

Длина первого основания равна длине отрезка между точками пересечения линий на оси x, т.е. 1. Длина второго основания равна длине отрезка между значениями x на этих отрезках для соответствующих значений y.

Для нашей трапеции, длина первого основания равна 1, а длина второго основания может быть найдена, если мы выразим x из одного уравнения и подставим полученное значение в другое уравнение.

Мы получим x = y / 3 из уравнения y = 3x. Подставим это в первое уравнение:
y = 3 sqrt(y / 3).

Для удобства, возведем обе части уравнения в квадрат:
y^2 = 9 (y / 3).

Упростим это уравнение:
y^2 = 3y.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:
y^2 - 3y = 0.

Мы можем факторизовать это уравнение следующим образом:
y (y - 3) = 0.

Таким образом, мы получаем два значения y: y = 0 и y = 3.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения x, подставим найденные значения y в уравнение x = y / 3:
При y = 0: x = 0 / 3 = 0.
При y = 3: x = 3 / 3 = 1.

Таким образом, основание трапеции, соответствующее первому основанию (где x = 0), равно 0, а основание трапеции, соответствующее второму основанию (где x = 1), также равно 1.

Теперь, найдем высоту трапеции. Для этого мы можем использовать разницу между значениями y на линиях y = 3 sqrt(x) и y = 3x для соответствующих значений x, т.е. y = 3 sqrt(x) - 3x.

Подставим значения x = 0 и x = 1 в это выражение:
Для x = 0: y = 3 sqrt(0) - 3 * 0 = 0 - 0 = 0.
Для x = 1: y = 3 sqrt(1) - 3 * 1 = 3 - 3 = 0.

У нас получается, что высота трапеции равна 0.

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу площади трапеции: S = (1/2) * (сумма оснований) * высота.

Основание трапеции равно 0 + 1 = 1. Высота трапеции равна 0. Подставим эти значения в формулу:
S_трапеции = (1/2) * 1 * 0 = 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 sqrt(x) и y = 3x, равна сумме площади треугольника и площади трапеции:
S_фигуры = S_треугольника + S_трапеции = 1.5 + 0 = 1.5.

Итак, площадь фигуры равна 1.5 квадратных единиц.

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!