Вычислить первообразную f(x)=5sinx-cosx 7/x+12e^x

Пошаговое объяснение:

Всё показано на листе.

Первообразная функции f(x) состоит из двух слагаемых: 5sinx и -cosx. Для вычисления первообразной, мы подбираем функцию, производная которой равна данной функции f(x).

1) Вычислим первую часть первообразной, содержащую функции синуса и косинуса.
Интеграл от функции 5sinx равен -5cosx. Обоснуем это:

∫ 5sinx dx = -5cosx + C

Здесь С - произвольная постоянная, появляющаяся после интегрирования.

Интеграл от функции -cosx равен sinx. Обоснуем это:

∫ -cosx dx = sinx + C

Теперь мы можем записать первую часть первообразной функции f(x) как -5cosx + sinx.

2) Теперь рассмотрим вторую часть первообразной функции f(x), содержащую функции 7/x и 12e^x.

Интеграл от функции 7/x может быть выражен в виде ln|x| + C, где ln - натуральный логарифм, и С - произвольная постоянная. Обоснуем это:

∫ (7/x) dx = 7 ln|x| + C

Интеграл от функции 12e^x равен 12e^x. Обоснуем это:

∫ 12e^x dx = 12e^x + C

Теперь мы можем записать вторую часть первообразной функции f(x) как (7 ln|x| + 12e^x).

Итак, общая первообразная функции f(x) равна:
F(x) = -5cosx + sinx + 7 ln|x| + 12e^x + C,

где С - произвольная постоянная. Эта функция является ответом на вопрос.