1. Математика
  2. Вычислить определители методом

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений


Вычислить определители методом рекуррентных соотношений

Фиалка2017 Фиалка2017    3   26.12.2021 02:13    0

Ответы
mrsmauriziodimauro mrsmauriziodimauro  13.02.2022 13:16

Разложим определитель по последней строке:

D_n=(-1)^{n+2}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1&1\\a_1&0&0&\ldots&0&0\\0&a_2&0&\ldots&0&0\\\hdotsfor{6}\\0&0&0&\ldots&0&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&0\end{vmatrix}+a_nD_{n-1},

а получившийся определитель - по последнему столбцу:

D_n=(-1)^{n+2}\cdot(-1)^{n+1}\cdot\begin{vmatrix}a_1&0&0&\ldots&0\\0&a_2&0&\ldots&0\\ \hdotsfor{5}\\0&0&0&\ldots&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}\end{vmatrix}+a_nD_{n-1}=

= -a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{n-1}+a_nD_{n-1}.

Поскольку D_1=-1;\ D_2=-a_1-a_2, а по рекуррентному соотношению

D_3=-a_1\cdot a_2+a_3D_2=-a_2\cdot a_3-a_1\cdot a_3-a_1\cdot a_2,  естественно выдвинуть гипотезу, что      D_n= -a_2\cdot a_3\cdot\ldots\cdot a_n-\sum\limits_{i=2}^{n-1}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots \cdot a_n-a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_{n-1}.

Докажем ее. Для n=2 и n=3 гипотеза верна. Пусть она верна при некотором n=k>1, тогда

D_{k+1}=-a_1\cdot a_2 \cdot \ldots\cdot a_{k}+a_{k+1}(-a_2\cdot a_3\cdot \ldots a_k-\sum\limits_{i=2}^{k-1}a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot\ldots\cdot a_k - a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{k-1})=  

=-a_2\cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{k+1}-\sum\limits_{i=2}^{k}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots\cdot a_{k+1}-a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_k.

Гипотеза доказана.

Кстати, если все числа a_i,\ i=1;\ 2,\ \ldots, n   не равны нулю, ответ можно записать в виде

                             D_n=-\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_1\cdot a_2\cdot\ldots \cdot a_n}{a_i}.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
kitkinausmaeva1 kitkinausmaeva1  22.12.2020 08:54
Найди и запиши недостаточно недостающие данные в таблице Длина прямоугольника 9 см Вторая неизвестно ещё на прямоугольника 5 см 2 6 см Площадь прямоугольника неизвестна 48 м метров​...
100profan 100profan  22.12.2020 08:54
Математике 6класс Раскройте скобки и упрости выражения ​...
6lackk 6lackk  22.12.2020 08:54
Преобразования алгебраических выражений .Урок...
Anna66613 Anna66613  22.12.2020 08:53
Упростите выражение: 9m + 81- 5m +m-19...
RBR13 RBR13  22.12.2020 08:53
Найди число, если 4/11 его равны 80.​...
zaxarov20012 zaxarov20012  22.12.2020 08:52
Вычислите (6 - 4/5):(1 1/3 - 1/4) * (2 1/3 + 1 2/5 + 1/6)...
garanina2005 garanina2005  20.04.2021 17:59
7 350. Тик бурчтуктун бир жагы экинчисинен дециметрге кичине, периметри2 метр. Тик бурчтуктун жактары канчага барабар (дециметр менен)?​...
4333Jack99 4333Jack99  20.04.2021 18:00
На одной координатной плоскости Oxy постройте графики линейных функций y=f(x) и y=g(x) и найдите координаты их точки пересечения. f(x) =6-3x, g(x)=2x-4 f(x)=-0,5+1, g(x)=-5-2x...
алекс818 алекс818  20.04.2021 18:00
Сколько секунд в 28 часах и 40 секундах?...
NoxchiKent NoxchiKent  20.04.2021 18:00
Հաշվեք արտադրյալը (814 –821)։ 814. )զ)դ)5712 814 1025 4956 8)7913 10010 3912 213 315 714 127 լ4 2791645 1734 15և)ը)​...

Популярные вопросы