Вычислить объем пирамиды с вершинами a1, a2, a3, a4 и его высоту, опущенную из вершины a4 на грань a1 a2 a3, используя смешанное и векторное произведения соответствующих векторов.

Сначала найдём угол между рёбрами A1A2 и A1A4. Угол между рёбрами - это тоже самое, что и угол между векторами. Значит достаточно найти угол между векторами А1А2 и А1А4.
Для нахождения координат вектора надо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора. Получаем:
А1А2 = {6-7;5-7;8-3} = {-1;-2;5}
A1A4 = {8-7;4-7;1-3} = {1;-3;-2}
Для нахождения угла между векторами почти всегда используют
скалярное произведение. По определению:
(A1A2;A1A4) = |A1A2| * |A1A4| * Cos (А1A2;A1A4),
где |A1A2|, |A1A4| - длины векторов, Cos (A1A2;A1A4) - косинус угла между векторами, то есть косинус того угла, который нам надо найти.
Выразим косинус. Имеем :
Cos (A1A2;A1A4) = (A1A2;A1A4) / (|A1A2| * |A1A4|)
|A1A2| = {(-1)*(-1)+(-2)*(-2)+5*5}^{1/2} = {30}^{1/2}
|A1A4| = {1*1+(-3)*(-3)+(-2)*(-2)}^{1/2} = {14}^{1/2}
Скалярное произведение двух векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.
(A1A2;A1A4) = (-1)*1+(-2)*(-3)+(-2)*5 = -5
Cos (A1A2;A1A4) = -5 / ({30}^{1/2} * {14}^{1/2}) = -0,2440
Тогда наш угол равен arccos (-0,2440) = 104 градуса
ответ : 104 градуса


Найти уравнения высоты из точки А4 на грань А1А2А3.
Найдём уравнение грани А1А2А3, это плоскость. Общий вид плоскости :
Ax+By+Cz+D=0
Точки А1,А2 и А3 принадлежат этой грани. Точка принадлежит плоскости, если при подстановке координат точки вместо x,y и z в уравнение плоскости получаем 0. Отсюда система линейных уравнений.
7A+7B+3C+D=0,
6A+5B+8C+D=0,
3A+5B+8C+D=0.
Решаем.
Вычитая из второго уравнения третье, получаем А=0.
Тогда
7B+3C+D=0,
5B+8C+D=0,
A=0.
Выражаем D : D = -7B-3C. Тогда, подставив это выражение во второе уравнение, получим 5B+8C-7B-3C=0, 5C=2B, B=2,5C.
D=-7*2,5C-3C=-20,5C.
Имеем
2,5Cy+Cz-20,5C=0
5Cy+2Cz-41=0
C не равно 0, иначе плоскость вырождена, поэтому можно разделить на С.
Уравнение грани A1A2A3 : 5y+2z-41=0.
По уравнению плоскости легко находится вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость имеет вид Ax+By+Cz+D=0, то вектор, перпендикулярный плоскости имеет вид {A;B;C}.
В нашем случае это {0;5;2}. Высота перпендикулярна плоскости, прямая задаётся точкой на прямой и лежащим на ней вектором.
В качестве вектора можно взять {0;5;2}, а в качестве точки вершину
A4 (8;4;1).

ответ : Угол равен 104 градуса.
Уравнение высоты :
x = 8,
y = 4+5t,
z = 1+2t,
где t принадлежит R.