1. Математика
  2. Вычислить неопределённый

Вычислить неопределённый интеграл (x-1)/(x^2-2x+2)(фото с интегралом приложено)

Артём2006706 Артём2006706    2   20.12.2019 15:41    0

Ответы
BlackBear2517 BlackBear2517  10.10.2020 22:05

\int \frac{x-1}{x^2-2x+2}\, dx=\int \frac{(x-1)\, dx}{(x-1)^2+1}=[\; t=x-1\; ,\; dx=dt\; ]=\int \frac{t\, dt}{t^2+1}=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1}=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2-2x+2)+C

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
ivoleg13 ivoleg13  10.10.2020 22:05

Перепишем подынтегральное выражение: \frac{x-1}{(x-1)^{2}+1}; Сделав замену u=x-1, перепишем интеграл: \int \frac{u}{u^{2}+1}du; Рассмотрим треугольник с катетами u и 1 и гипотенузой \sqrt{u^{2}+1}; Подынтегральное выражение теперь можно записать как \frac{u\times1}{\sqrt{u^{2}+1}\sqrt{u^{2}+1}} =\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}\times \frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}; Или в терминах одного из углов того треугольника: \sin\theta\cos\theta; Осталось только переписать дифференциал через \theta. Имеем: \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}=\sin\theta,\; \theta=\arcsin \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}; Откуда \frac{d\theta}{du}=\frac{1}{1+u^{2}} =\cos^{2}\theta \Leftrightarrow du=\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}; Получаем интеграл: \int \sin\theta\cos\theta\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}=\int \tan\theta d\theta =-\ln\cos\theta+\textbf{C}; Замена к u: -\ln(\cos\arcsin( \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}))=-\ln(\sqrt{\frac{1}{u^{2}+1} }); Наконец, замена к x: -\ln(\sqrt{\frac{1}{(x-1)^{2}+1} })=-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{x^{2}-2x+2})=\frac{1}{2}\ln(x^{2}-2x+2)

\frac{1}{2}\ln(x^{2}-2x+2)+\textbf{C}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Lol2288502 Lol2288502  02.01.2021 12:33
Пиреметр прямо угольника равна 12 см а ее ширина 36 дм Найдите длену​...
ясин9595 ясин9595  02.01.2021 12:36
5. Какое число получится, если наибольшую десятичную дробь, с целой частью s составленную с использованием всех цифр 1, 2; 4, 8, 9, округлить до целой части​...
Мучений Мучений  02.01.2021 12:43
33. Собственная скорость теплохода 20 км/ч. Скорость течения реки 4 км/ч. Теплоход проходит по течению реки и возвращается после 4 часовой стоянки. С моментаотплытия теплохода...
hippol hippol  02.01.2021 12:50
Сколько решений имеет буквенный ребус Т + У + Р + Н + И + Р = 19 (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные), если гласные буквы – цифры одной чётности,...
BOJl40K BOJl40K  02.01.2021 13:00
(2x +5y -3z) - (- 7x + 17y-z)Раскройте скобки ​...
klimov200293 klimov200293  02.01.2021 13:04
Для матриц A2×3 и B2×3, чисел a и b , а также для векторов x ∈ R в кубе и y ∈ R в кубе вычислить: 1) транспонированные матрицы А* и В* ; матрицы С=АВ* , D=A* B , F = aA+bB;...
dashkin21 dashkin21  02.01.2021 13:15
На асфальте нарисована полоска в виде прямоугольника 1 × 10. Кенгуру хочет допрыгать с самой левой клеточки до самой правой. При этом за один прыжок он может прыгать на...
maksymr0906 maksymr0906  02.01.2021 13:15
Нарисовать диаграммы эйлера венна для следующих множеств A\ (B∩C)...
gavrikovakateri gavrikovakateri  02.01.2021 13:20
Упростите ( 8m² +5m) +( 1-6m)​...
kresofbro kresofbro  02.01.2021 13:33
средняя высота 8-ми этажных домов в одном квартале составляет 38 метров, а средняя высота 4-х домов-29 метров.найдите среднюю высоту оставшихся 4 домов...

Популярные вопросы