1. Математика
  2. Вычислить длину дуги кривой (Кардиоида)

Вычислить длину дуги кривой (Кардиоида)


Вычислить длину дуги кривой (Кардиоида)

olgakorneva1 olgakorneva1    1   20.03.2021 12:43    68

Ответы
Zlata2828 Zlata2828  19.04.2021 12:51

Пошаговое объяснение:

в общем-то можно и не считать, потому как есть формула для расчета длины кардиоиды r=a(1-cosФ)

Р = 8a, т.е. в нашем случае Р = 8*3=24

однако, проверим

формула длины дуги

\int\limits^{\phi_2}_{\phi_2} {(\sqrt{(r')^2+r^2)}} \, d\phi

у нас кардиоида симметрично относительно оси ох, поэтому сосчитаем от 0 до π и умножим на 2

итак

\displaystyle P=2\int\limits^\pi _0 {\sqrt{(3sin\phi)^2+(3(1-cos\phi ))^2}} \, dx =

\displaystyle =2*3\int\limits^\pi _0 {\sqrt{sin^2\phi +cos^2\phi+1-2cos\phi} } \, d\phi=

\displaystyle = 2*3\int\limits^\pi _0 {\sqrt{2-2cos\phi} } \, d\phi= 2*3*\sqrt{2} \int\limits^\pi _0 {\sqrt{1-cos\phi} } \, d\phi=

\displaystyle =2*3*\sqrt{2} \int\limits^\pi _0 {\sqrt{2sin^2\frac{\phi}{2} } } \, d\phi=6*\sqrt{2} *\sqrt{2} \int\limits^\pi _0 {sin\frac{\phi}{2} } \, d\phi=

\displaystyle =24\left[\begin{array}{ccc}u=\phi/2\hfill \\du = \frac{1}{2} d\phi \hfill\\u_1=0 \quad u_2=\pi /2\end{array}\right] =24\int\limits^{\pi /2}_0 {sinu} \, du=24*(-cosu)\bigg |_0^{\pi /2}=24

что и требовалось доказать......

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
ВсеЗнайка717 ВсеЗнайка717  23.06.2019 09:50
Составить тест 10 вопросов 3 варианта ответа тема лесные...
lisena4555 lisena4555  23.06.2019 09:50
По лесной тропинке навстречу друг другу одновременно выбежали два ёжика. скорость одного 67 м /в минуту,а скорость второго на 6 м /в минуту больше.через какое время время ёжики...
fedushkinmax fedushkinmax  23.06.2019 09:50
Сколько рядов нужно вычеркнуть чтобы осталось 40 клеток? (площадь-144 клетки,сторона-12клеток)...
masky80984Женя masky80984Женя  23.06.2019 09:50
Описать город где ты родился 5 прил...
vihfdif23759Andr4675 vihfdif23759Andr4675  23.06.2019 09:50
На клумбе растут ноготки – 10 штук и настурции – 20 штук. с вероятностью 0,9 ноготок имеет яркий цвет, настурция с вероятностью 0,8. сорванный цветок яркого цвета. какова вероятность,...
petrachenkov201 petrachenkov201  23.06.2019 09:50
Разделить число 742 на две седьмые части...
nikitabars7 nikitabars7  23.06.2019 09:50
На уроке физкультуры ученики выстроили в линейку на расстоянии 1 м друг от друга.вся линейка растянулась на 25 м.сколько было учеников? подскажите решение...
F1NN1 F1NN1  23.06.2019 09:50
Решить пример: a^2b^2*(a^2+3ab-b^2)...
максим1723 максим1723  23.06.2019 09:50
Сколько будет (10500-7050 ): 10+75=...
ARINA5656134 ARINA5656134  23.06.2019 09:50
Маша купила 7 тетрадей в клетку,а в линейку - на 3 больше.сколько всего тетрадей купила маша?...

Популярные вопросы