Вычисли сторону и площадь равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 3 м.

2)Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если:

- у многоугольника 12 сторон и R= 4 см
(если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1).

S=
⋅
−−−−−√ см2;

- у многоугольника 18 сторон и R= 4 см
(ответ округли до целых).

S=
см2.

Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся с определением равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину, и все углы равны 60 градусам.

1) Для нахождения стороны равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности равен 3 метра, возьмем любую из сторон треугольника и обозначим ее буквой "a".

Так как треугольник равносторонний, то сторона "a" равна радиусу описанной окружности.
То есть a = 3 м.

Теперь находим площадь равностороннего треугольника:
S = (a^2 * (√3)) / 4,
где "a" - длина стороны треугольника.

Подставляем значение "a" в формулу для площади:
S = (3^2 * (√3)) / 4.

Решаем эту формулу:
S = (9 * (√3)) / 4.

Ответ: сторона равностороннего треугольника равна 3 метра, площадь равностороннего треугольника равна (9 * (√3)) / 4 квадратных метра.

2) Теперь рассмотрим правильный многоугольник с 12 сторонами и радиусом описанной окружности R = 4 см.

Для нахождения площади такого многоугольника, воспользуемся формулой:
S = (n * a^2 * cot(180/n)) / 4,
где "n" - количество сторон многоугольника,
"a" - длина стороны многоугольника,
"cot" - тангенс угла.

В данном случае у нас n = 12 и R = 4 см.

Сначала найдем длину стороны многоугольника "a":
a = 2 * R * sin(180/n),
где "sin" - синус угла.

Подставляем значения в формулу и решаем для нахождения стороны "a".

a = 2 * 4 * sin(180/12).

Решаем эту формулу:
a = 2 * 4 * sin(15).

Ответ: сторона многоугольника равна 8 * sin(15) см.

Теперь подставляем полученное значение стороны в формулу для площади:

S = (12 * (8 * sin(15))^2 * cot(180/12)) / 4.

Решаем эту формулу:
S = (12 * (8 * sin(15))^2 * cot(15)) / 4.

Рассчитываем выражение (8 * sin(15))^2 и cot(15):
S = (12 * (8 * sin(15))^2 * 1/tan(15)) / 4.

Ответ: площадь многоугольника с 12 сторонами и радиусом описанной окружности R = 4 см равна (12 * (8 * sin(15))^2 * 1/tan(15)) / 4 квадратных сантиметров.

Теперь рассмотрим многоугольник с 18 сторонами и радиусом описанной окружности R = 4 см.

Процесс решения будет аналогичен предыдущему случаю: сначала находим длину стороны многоугольника "a" с помощью формулы:

a = 2 * R * sin(180/n).

Подставляем значения и решаем для нахождения стороны "a".

a = 2 * 4 * sin(180/18).

Решаем эту формулу:
a = 2 * 4 * sin(10).

Ответ: сторона многоугольника равна 8 * sin(10) см.

Теперь подставляем полученное значение стороны в формулу для площади:

S = (18 * (8 * sin(10))^2 * cot(180/18)) / 4.

Решаем эту формулу:
S = (18 * (8 * sin(10))^2 * cot(10)) / 4.

Рассчитываем выражение (8 * sin(10))^2 и cot(10):
S = (18 * (8 * sin(10))^2 * 1/tan(10)) / 4.

Ответ: площадь многоугольника с 18 сторонами и радиусом описанной окружности R = 4 см равна (18 * (8 * sin(10))^2 * 1/tan(10)) / 4 квадратных сантиметров, округленная до целых.