Выберите верные утверждения:
1) Сумма углов трапеции, прилежащих к меньшему основанию равна 180°
2) В остроугольном треугольнике ABC угол между высотами AA¹ и BB¹ равен углу ACB
3)Если две дуги окружности равны, то и стягивающие их хорды равны
4) Существует прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны
​

Давай разберем каждое утверждение по очереди и проверим, являются ли они верными.

1) Сумма углов трапеции, прилежащих к меньшему основанию равна 180°.

Для начала, давай посмотрим на определение трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а остальные две стороны не параллельны. Также трапеция имеет две пары углов, примыкающих к параллельным сторонам.

Поскольку одна пара углов примыкает к параллельным сторонам, а другая пара - к непараллельным сторонам, значение суммы углов будет зависеть от того, прилежат ли эти углы к большему основанию или к меньшему основанию.

Чтобы проиллюстрировать это, нарисуем трапецию ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а AD и BC - непараллельные стороны. Пусть углы А и В примыкают к параллельным сторонам AB и CD соответственно, а углы C и D примыкают к непараллельным сторонам AD и BC.

B _______ C
/ \
/ \
/________________\
A D

У нас есть два случая:

а) Если углы А и В прилежат к большему основанию, а углы C и D прилежат к меньшему основанию, то сумма углов А и В будет равна 180°, так как они образуют пару смежных углов, а сумма углов С и D будет меньше 180°.

б) Если углы А и В прилежат к меньшему основанию, а углы C и D прилежат к большему основанию, то сумма углов С и D будет равна 180°, так как они образуют пару смежных углов, а сумма углов А и В будет меньше 180°.

Таким образом, случай 1) не верен, так как сумма углов трапеции, прилежащих к меньшему основанию, не равна 180° в общем случае.

2) В остроугольном треугольнике ABC угол между высотами AA¹ и BB¹ равен углу ACB.

Для проверки этого утверждения, давай нарисуем остроугольный треугольник ABC:

A
/ \
/ \
/_________\
B C

Далее, проведем высоты AA¹ и BB¹, которые пересекаются в точке H, и обозначим получившиеся углы:

/\
/ \
/ \
A------H------B
/________________\
C

Поскольку высоты перпендикулярны к основаниям, у нас получится два прямых угла: ∠BAH и ∠CAH.

Теперь давай сравним углы треугольника ABC:
- Угол ACB образован сторонами AC и BC.
- Угол ‾ABC образован сторонами AB и BC.
- Угол ‾BAC образован сторонами AB и AC.

Из определения треугольника следует, что сумма углов треугольника равна 180°.

Так как углы ACB и ∠BAH образованы сторонами AC и AB, а углы ACB и ∠CAH образованы сторонами BC и AC, данные углы равны между собой.

Таким образом, утверждение 2) является верным: угол между высотами AA¹ и BB¹ в остроугольном треугольнике ABC равен углу ACB.

3) Если две дуги окружности равны, то и стягивающие их хорды равны.

Для проверки этого утверждения рассмотрим окружность O и две равные дуги AB и CD:

A____B
/ \
/ \
O________\
C D

Давай проведем стягивающие хорды AC и BD:

A____B
/ \
/ \
/____________\
C D

Определение равной дуги гласит, что дуги AB и CD имеют одинаковую длину.

Теперь, если провести перпендикуляры к хордам, то получатся треугольники ABC и BDA с двумя прямыми углами и общей стороной BD.

A_________C
/ \
/ \
/________________\
B D

Из определения прямоугольника следует, что сумма углов треугольника равна 180°.

У нас есть два случая:
- Углы ABC и BDA образованы хордами AC и BD. Так как обе хорды равны, то у нас получается две одинаковых стороны и общая сторона, и поэтому эти углы равны.

- Угол ‾BAC образован сторонами AB и AC, а угол ‾BAD образован сторонами BA и BD. Так как обе хорды равны, то углы ‾BAC и ‾BAD равны.

Таким образом, утверждение 3) также является верным: если две дуги окружности равны, то и стягивающие их хорды равны.

4) Существует прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны.

Для проверки этого утверждения, давай рассмотрим прямоугольник ABCD, где A и C - вершины длинного основания, B и D - вершины короткого основания, а O - точка пересечения диагоналей:

A________B
| |
| |
| |
| |
D________C

Давай проведем диагонали AC и BD:

A________B
| |
| |
| O |
| |
D________C

Если диагонали AC и BD перпендикулярны, то согласно определению прямоугольника, длинные основания AC и DB должны быть перпендикулярны друг другу.

Отметим, что это не всегда так. В общем случае, прямоугольник может быть неперпендикулярным, как показано на следующем рисунке:

A__________B
| |
| |
| O |
| |
D__________C

Таким образом, утверждение 4) неверно: не всегда существует прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны.

Надеюсь, теперь тебе стало понятно, как выбрать верные утверждения. Если у тебя остались дополнительные вопросы, не стесняйся задавать, и я с удовольствием помогу!