Втреугольнике abc точка m лежит на стороне ac, а точка l на стороне bc расположена так, что bl : lc = 2 : 5. прямая, проходящая через точку l параллельно стороне ab, пересекает отрезок bm в точке o, причем bo : om=7 : 4. найдите отношение, в котором точка m делит сторону ac, считая от точки c.

Ответы

Boxing12474 20.09.2020 10:55

Задачу можно решить двумя
1) посредством формул, аксиом и теорем планиметрии, изучаемых в стандартной школьной программе;
2) и через привлечение теоремы Менелая.
Решим её обоими

[[[ 1 ]]] с п о с о б

Обозначим длины сторон треугольника $\Delta ABC$ как:

AB = c

;

;
и

;

Тогда: $BL = \frac{2}{7} a$ ;

Обозначим MC = xb ,

где

– некоторое число,

такое, что: 0 < x < 1

;

Найдя это число x ,

мы найдём и пропорцию, в которой

делит сторону

;

Проведём прямую LQ || AC ,

тогда по трём углам: $\Delta QBL \sim \Delta MBC ,$

а значит: $\frac{QL}{MC} = \frac{BL}{BC}$ и $\frac{BQ}{BM} = \frac{BL}{BC}$ ;

$QL = \frac{ \frac{2}{7} a }{a} MC$ и $BQ = \frac{ \frac{2}{7} a }{a} BM$ ;

[1] $QL = \frac{2}{7} xb$ и $BQ = \frac{2}{7} BM$ ;

Поскольку $BO = \frac{7}{7+4} BM = \frac{7}{11} BM ,$ то:

$QO = BO - BQ = \frac{7}{11} BM - \frac{2}{7} BM = ( \frac{49}{77} - \frac{22}{77} ) BM$ ;

$QO = \frac{27}{77} BM$ ;

По трём углам: $\Delta OQL \sim \Delta OMK ,$ а значит:

$\frac{MK}{QL} = \frac{MO}{QO}$ и $MK = \frac{MO}{QO} QL$ ;

Поскольку $MO = \frac{4}{7+4} BM = \frac{4}{11} BM$ и по [1] $QL = \frac{2}{7} xb ,$ то:

$MK = \frac{MO}{QO} QL = \frac{ \frac{4}{11} BM }{ \frac{27}{77} BM } \frac{2}{7} xb = \frac{4}{11} \cdot \frac{77}{27} \cdot \frac{2}{7} xb = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{1} xb$ ;

$MK = \frac{8}{27} xb$ ;

По теореме Фалеса, об отсечении параллельными прямыми внутри угла пропорциональных отрезков, получается, что:

$KC = \frac{5}{7} b$ ;

Тогда получаем уравнение:

KC = KM + MC

;

$\frac{5}{7} b = \frac{8}{27} xb + xb$ ;

$\frac{5}{7} = ( 1 + \frac{8}{27} ) x$ ;

$\frac{5}{7} = \frac{35}{27} x$ ;

$x = \frac{5}{7} : \frac{35}{27} = \frac{5}{7} \cdot \frac{27}{35} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27}{7}$ ;

$x = \frac{27}{49}$ ;

Значит $MC = \frac{27}{49} AC$ и $AM = \frac{22}{49} AC ,$ откуда ясно, что отношение, в котором точка

делит сторону AC ,

считая от точки C ,

будет:

$CM : MA = \frac{27}{49} AC : \frac{22}{49} AC$ ;

CM : MA = 27 : 22 .

[[[ 2 ]]] с п о с о б

Применим теорему Менелая

в треугольнике $\Delta BCM$ с секущей

:

$\frac{BL}{LC} \cdot \frac{CK}{KM} \cdot \frac{MO}{OB} = 1$ ;

$\frac{2}{5} \cdot \frac{ \frac{5}{7} b }{KM} \cdot \frac{4}{7} = 1$ ;

$\frac{5}{7} b : KM = \frac{35}{8}$ ;

$\frac{5}{7} b : \frac{35}{8} = KM$ ;

$KM = \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{35} b = \frac{1}{7} \cdot \frac{8}{7} b$ ;

$KM = \frac{8}{49} b$ ;

Отсюда: $AM = AK + KM = \frac{2}{7} b + \frac{8}{49} b = ( \frac{14}{49} + \frac{8}{49} ) b$ ;

$AM = \frac{22}{49} b$ ;

Значит $MC = \frac{27}{49} AC ,$ откуда ясно, что отношение, в котором точка

делит сторону AC ,