Все корни ур-ния sin2x+16(cosx)^2=4 принадлежащие отрезку [пи/4 ; 3пи/2}
можно только ответы
+ обязательно сделаю "Лучший ответ"

Дано уравнение: sin^2x + 16cos^2x = 4.

Для начала рассмотрим тождество тригонометрии: sin^2x + cos^2x = 1. Можно заметить, что уравнение в задаче похоже на это тождество, за исключением дополнительного множителя 16 перед cos^2x. Чтобы избавиться от него, разделим всё уравнение на 16:

(sin^2x + cos^2x)/16 + cos^2x/16 = 4/16.

Упрощая это выражение, получим:

1/16 + cos^2x/16 = 1/4.

Теперь перенесём все слагаемые влево:

1/16 + cos^2x/16 - 1/4 = 0,

1/16 + cos^2x/16 - 4/16 = 0,

(1 + cos^2x - 4)/16 = 0,

(cos^2x - 3)/16 = 0.

Теперь домножим уравнение на 16 ):

cos^2x - 3 = 0.

Теперь добавим 3 к обоим сторонам:

cos^2x = 3.

Возьмём квадратный корень от обеих сторон:

cosx = ± √3.

Теперь рассмотрим интервал [π/4 ; 3π/2] и найдем все значения x, для которых cosx принадлежит этому интервалу.

В данном интервале cosx положителен, поэтому отрицательное значение √3 не подходит. Значит, остаётся только положительное значение:

cosx = √3.

Для нахождения всех корней уравнения, вспомним основные значения тригонометрических функций.

Угол, для которого cosx = √3, находится в первой четверти. В первой четверти cosx положителен. Таким образом, наше значение cosx = √3 можно представить в виде cosx = cos(π/6).

Теперь, чтобы найти все значения x, для которых cosx = √3, используем следующую формулу:

x = 2πn ± π/6,

где n - целое число.

Подставляя n = 0, получим первое решение:

x = 2π(0) ± π/6 = π/6.

Подставляя n = 1, получим второе решение:

x = 2π(1) ± π/6 = 13π/6.

Таким образом, все корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.

Последнее, что осталось сделать, - это подтвердить, что найденные значения действительно являются корнями уравнения.

Подставим первое значение, x = π/6:

sin^2(π/6) + 16cos^2(π/6) = 4,

(1/2)^2 + 16(√3/2)^2 = 4,

1/4 + 16(3/4) = 4,

1/4 + 48/4 = 4,

49/4 = 4,

4 = 4 (верно).

Теперь подставим второе значение, x = 13π/6:

sin^2(13π/6) + 16cos^2(13π/6) = 4,

(1/2)^2 + 16(-√3/2)^2 = 4,

1/4 + 16(3/4) = 4,

1/4 + 48/4 = 4,

49/4 = 4,

4 = 4 (верно).

Таким образом, корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.