Врезультате некоторой перестановки цифр число уменьшилось в три раза. докажите, что исходное число делилось на 27.

Вспомните признаки делимости на 3 и на 9. 
Решение. A — исходное число, B — число, в три раза меньшее A, полученное из A путём перестановки цифр. A = 3B, следовательно A делится на 3. Значит, что и B делится на 3, потомучто сумма цифр числа B равна сумме цифр числа A. Таким образом, 
B = 3m, 
где m — целое, и 
A = 3B = 9m. 
Следует что, A делится на 9. Значит, B тоже делится на 9 (делимость на 9 определяется, как и делимость на 3, суммой цифр числа), а поэтому 
A = 3B = 3 · 9 n = 27n , то есть делится на 27