Вправильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре находятся в плоскости ее основания. определить ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α

Делаем сечение - рисунок в приложении.
Высота пирамиды
DN = a/2*tgα
Сторона куба - b
Высота пирамиды по размерам куба.
DN = b+ b/2*tgα = b*(1+tg/2) = b/2*(2+tgα)
Приравняли формулы и выражаем сторону куба b.
b = a* tgα/(2+tgα) - ОТВЕТ