Вправильной шестиугольной пирамиде sabcdef сторона основания ab=√3, боковое ребро sa = √7. найдите расстояние от вершины a до плоскости bcs.

Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS. Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS. 
Пусть SH — высота треугольника BCS, SO — перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH.

1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2
2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2
3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2
4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными
S = SO*OH/2 = SH*OM/2, откуда
OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства геометрических фигур, а именно свойства правильной шестиугольной пирамиды.

Для начала, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину a и перпендикулярной основанию bcs. Обозначим эту точку пересечения как M.

Также, обратим внимание на то, что основание пирамиды является правильным шестиугольником. Значит, угол между любыми двумя сторонами основания составляет 120 градусов. Давайте проведем линию mc, которая поделит данный угол напополам.

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник amc. У него известна гипотенуза ac (длина бокового ребра пирамиды, равная √7) и известна медиана mc (равная половине длины стороны основания, то есть √3/2). Мы можем найти длину отрезка am с помощью теоремы Пифагора:

am^2 + mc^2 = ac^2
am^2 + (√3/2)^2 = (√7)^2
am^2 + 3/4 = 7
am^2 = 7 - 3/4
am^2 = 28/4 - 3/4
am^2 = 25/4
am = √(25/4)
am = 5/2

Таким образом, мы нашли, что расстояние от вершины a до плоскости bcs (отрезок am) равно 5/2 или 2.5.

Ответ: Расстояние от вершины a до плоскости bcs равно 2.5.