Вкубе abcda1b1c1d1 найдите тангенс угла между диагональю куба ac1 и плоскости проходящей через вершины a1b1cd )

начертите куб. проведите диагональ и плоскость. пусть длина ребра =  a

пусть точка пересечения диагонали с плоскостью будет O.

для определения угла пересечения, необходимо из точки C1 опустить перпендикуляр к плоскости. Т.к. плоскость A1B1CD пересекает сторону CDB1C1 куба по диагонали CB1, то, следовательно, перпендикуляр будет проходить из точки C1 к  прямой CB1. пусть точкой пересечения будет точка K на прямой CB1.

нужно найти tg угла C1OK, т.е. отношение C1K к KO.

Исходя из свойств симметрии куба, известно, что точка пересечения O будет находится в центре куба, деля длину ребра a пополам.

Т.е. KO = 0.5a

найдем C1K. из прямоугольного равнобедренного треугольника CKC1.

C1K = {корень квадратный} из (a в квадрате + a в квадрате) / 2 = a*{корень из 2}/2= a / {корень из 2}

tg угла C1OK = C1K / KO = a / {корень из 2} / 0.5 a = {корень из 2}

ответ:  тангенс угла между диагональю куба AC1 и плоскости проходящей через вершины A1B1CD =  {корень из 2}.

Простите великодушно за такое краткое решение, но тут залог верного решение - правильный чертеж и пространственное воображение, ну и знание формул, конечно.
а задачка - одна из наиболее сложных по данной теме