Винтернате десять жилых комнат. жители этих комнат просыпаются по очереди. если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой комнаты и уносят её в подвал. если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. могло ли в подвале оказаться ровно 5 дверей после того, как все проснулись?

Весёлая жизнь в этом интернате. Кина не надо!
Нет, 5 дверей быть не могло.
Допустим, все 10 дверей висят на комнатах. Тогда первые 5 проснувшихся унесут чужие двери в подвал.
А последние 5, проснувшиеся без дверей, принесут их обратно.
Теперь представим наоборот, что все 10 дверей были в подвале.
Тогда каждый, проснувшись, принесёт дверь себе.