Вершини піраміди знаходяться в точках А (-4; -2; -3), B (2; 5; 7), C (6; 3; -1), D(6; -4; 1). Знайти: площу грані АСD; площу перерізу, що проходить через вершини А, D та середину ребра BC; об’єм піраміди.

Даны вершины пирамиды: А (-4; -2; -3), B (2; 5; 7), C (6; 3; -1), D(6; -4; 1).

Знайти:

1. площу грані АСD;

Находим векторы: AC = (6-(-4); 3-(-2); -1-(-3)) = (10; 5; 2).

AD =  (6-(-4); -4-(-2); 1-(-3)) = (10; -2; 4).

Площадь треугольника ACD равна половине модуля векторного произведения векторов AC и AD.

 i         j        k|         i           j

10       5        2|       10         5

10      -2       4|        10        -2  = 20i + 20j - 20k - 40j + 4i - 50k =

                                               =  24i - 20j  - 70k = (24; -20; -70).

Модуль равен √(24² + (-20)² + (-70)²) = √(576 + 400 + 4900) = √5876.

Площадь ACD = (1/2)√5876 = √1469  ≈  38,32754.

2. площу перерізу, що проходить через вершини А, D та середину ребра BC;

Находим координаты точки Е как середины ВС.

Е = (B (2; 5; 7) + C (6; 3; -1))/2 = (4; 4; 3). Вектор АЕ = (8; 6; 6).

Находим векторное произведение векторов AD и AE.

 i         j        k|        i           j

10      -2        4|      10         -2

8         6       6|        8         6  = -12i + 32j + 60k - 60j - 24i + 16k =

                                               =  -36i - 28j  + 76k = (-36; -28; 76).

Модуль равен √((-36)² + (-28)² + 76²) = √(1296 + 784 + 5776) = √7856.

Площадь ADE = (1/2)√7856   ≈  44,31704.

3. об’єм піраміди.

V = (1/6)*[ACxAD]*AB.

Вектор АВ = (6; 7; 10).

V = (1/6)*(24*6-20*7-70*10) = (1/6)696 = 116 куб.ед.

смотри фото

Пошаговое объяснение: