Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата было равно 100?

ответ: Для биномиального закона распределении (и для нормального, и для закона Пуассона, к которым оно сходится при больших n) математическое ожидание определяется так: m(x)=n•p. Подставляя значения из условия задачи, имеем

100=n•0,97 => n=100/0,97≈104 (округление в большую сторону) .

Добрый день!

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо расчитать количество попыток опускания монеты, чтобы наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата было равно 100.

Согласно условию, вероятность правильной работы автомата при опускании одной монеты равна 0,97. Это означает, что в среднем из 100 случаев автомат сработает правильно 97 раз (0,97 * 100 = 97).

Таким образом, нам необходимо найти количество попыток опускания монеты, чтобы вероятность правильной работы автомата была равна 0,97.

Для решения задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для расчета вероятности биномиального распределения имеет вид:

P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k),

где P(X=k) - вероятность того, что из n попыток случится k случаев успешной работы автомата,
nCk - количество сочетаний из n по k,
p - вероятность одного успешного случая,
k - количество успешных случаев.

В нашем случае, вероятность успешной работы автомата p = 0,97, количество успешных случаев k = 100, и нас интересует количество попыток n.

Расчет количества попыток представляется в виде уравнения:

P(X=100) = (nC100) * 0,97^100 * (1-0,97)^(n-100).

Мы знаем, что наивероятнейшее количество правильной работы автомата равно 100, поэтому, чтобы найти n, мы можем приступить к решению этого уравнения.

Однако, в данном случае возникает трудность - решить это уравнение аналитически (т.е. найти n точным образом) довольно сложно и требует использования численных методов. Так что мы воспользуемся методом проб и ошибок для поиска подходящего значения n.

Начнем с n=200 (можно выбрать любое другое число). Подставим это значение в уравнение и посчитаем вероятность P(X=100):

P(X=100) = (200C100) * 0,97^100 * (1-0,97)^(200-100).

Мы можем использовать биномиальный коэффициент (nCk = n! / (k! * (n-k)!) для вычисления nC100. Приблизительно он равен 6,797\*10^29.

P(X=100) = (6,797\*10^29) * 0,97^100 * (1-0,97)^100.

Мы видим, что наше значение слишком велико и вероятность P(X=100) не равна 0,97. Так что наше текущее значение n (200) слишком большое.

Попробуем другое значение n - 150. Подставим его в уравнение и посчитаем вероятность P(X=100):

P(X=100) = (150C100) * 0,97^100 * (1-0,97)^(150-100).

Мы можем использовать биномиальный коэффициент (nCk) для вычисления (150C100). Приблизительно он равен 6,701\*10^20.

P(X=100) = (6,701\*10^20) * 0,97^100 * (1-0,97)^100.

Мы видим, что наше значение слишком мало и вероятность P(X=100) также не равна 0,97. Так что наше текущее значение n (150) слишком маленькое.

Продолжим метод проб и ошибок, пока не найдем подходящее значение n. Можно увеличивать или уменьшать n с шагом в 10 и проверять вероятность P(X=100) для каждого значения, пока не найдем значение, которое близко к 0,97.

Надеюсь, эта информация помогла вам разобраться в задаче. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь.