Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе 5 патронов, ведет огонь по мишени до первого попадания или до полного израсходования всех патронов. Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа X израсходованных патронов. Найти интегральную функцию распределения, вероятности событий . Определить математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов.

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Составление таблицы распределения вероятностей случайного числа X израсходованных патронов.
Для этого надо рассмотреть все возможные исходы событий. Количество патронов может быть от 1 до 5, так как стрелок будет стрелять до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания стрелка равна 0,5.

- Количество патронов: 1
Вероятность попасть 1 раз: 0,5
Вероятность не попасть: 0,5

- Количество патронов: 2
Вероятность попасть 1 раз: 0,5 * 0,5 = 0,25
Вероятность не попасть: 0,5 * 0,5 = 0,25

- Количество патронов: 3
Вероятность попасть 1 раз: 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125
Вероятность не попасть: 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

- Количество патронов: 4
Вероятность попасть 1 раз: 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,0625
Вероятность не попасть: 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,0625

- Количество патронов: 5
Вероятность попасть 1 раз: 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,03125
Вероятность не попасть: 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,03125

Построим таблицу распределения вероятностей:

| X (количество патронов) | Вероятность попадания | Вероятность не попадания |
|------------------------|----------------------|--------------------------|
| 1 | 0,5 | 0,5 |
| 2 | 0,25 | 0,25 |
| 3 | 0,125 | 0,125 |
| 4 | 0,0625 | 0,0625 |
| 5 | 0,03125 | 0,03125 |

2. Нахождение интегральной функции распределения.
Интегральная функция распределения F(x) будет равна сумме вероятностей всех значений, меньших или равных x.

F(1) = 0,5
F(2) = 0,5 + 0,25 = 0,75
F(3) = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875
F(4) = 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 0,9375
F(5) = 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 = 0,96875

Итак, интегральная функция распределения будет выглядеть следующим образом:

F(x) =
0,5 при x = 1
0,75 при x = 2
0,875 при x = 3
0,9375 при x = 4
0,96875 при x = 5

3. Нахождение математического ожидания.
Математическое ожидание (M) можно найти, умножив каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложив полученные произведения.

M = 1 * 0,5 + 2 * 0,25 + 3 * 0,125 + 4 * 0,0625 + 5 * 0,03125
M = 0,5 + 0,5 + 0,375 + 0,25 + 0,15625
M = 1,78125

Таким образом, математическое ожидание числа израсходованных патронов равно 1,78125.

4. Нахождение дисперсии.
Дисперсия (D) можно найти, вычислив сумму квадратов отклонений каждого значения случайной величины от ее среднего значения и умножив полученную сумму на соответствующую вероятность.

D = (1 - 1,78125)^2 * 0,5 + (2 - 1,78125)^2 * 0,25 + (3 - 1,78125)^2 * 0,125 + (4 - 1,78125)^2 * 0,0625 + (5 - 1,78125)^2 * 0,03125
D = 0,31640625 * 0,5 + 0,033203125 * 0,25 + 0,2373046875 * 0,125 + 0,03521728515625 * 0,0625 + 0,4918212890625 * 0,03125
D = 0,158203125 + 0,00830078125 + 0,0296630859375 + 0,002201080322265625 + 0,0153662872314453125
D = 0,21373437499999999

Таким образом, дисперсия числа израсходованных патронов равна примерно 0,2137.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!