Вариант II Изобразить на единичной окружности точку, полученную пово-
ротом точки Р(1; 0) на угол а (1—3).
1. 2) а =
2п
2. (2) а =
8
3
+ пk, ke Z.
5л 2
3. 4) а =
+ - k, ke Z.
6 3
TT
ая
Установить, в какой четверти координатной плоскости лежит
точка единичной окружности, соответствующая углу а (4—7).
4. (1) а =
Зп
31л
a =
5
8
6
a = -
5. (1) а = -47°; а = –182°; а = 415°.
6. 4) а = = 2; а = 3,6; а = 12.
7. 4) а = 1,8 + 2пk, ke Z.

Добрый день!

Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку и постараемся ответить на них.

1) В первом вопросе нам нужно изобразить на единичной окружности точку, полученную поворотом точки P(1; 0) на угол а (1—3).

Для начала давайте вспомним, что нам дана точка P(1; 0) на координатной плоскости. Это означает, что данная точка находится на оси Ox и имеет координату x = 1 и y = 0.

Теперь давайте посмотрим на угол а (1—3). В условии не указано в каких единицах измеряется угол, поэтому давайте будем считать, что угол измеряется в радианах.

Угол а равен 1—3 радианам.

Чтобы найти новые координаты точки, полученной поворотом точки P(1; 0) на угол а, мы можем воспользоваться тригонометрией и формулами поворота точек на плоскости. В данном случае, нам известно, что точка P(1; 0) находится на единичной окружности, а также факт, что при повороте точки на угол а, длина радиуса окружности остается неизменной.

Таким образом, новые координаты точки находятся по следующим формулам:
x' = x*cos(а) - y*sin(а)
y' = x*sin(а) + y*cos(а)

Подставляем значения x = 1, y = 0 и угол а = 1—3:
x' = 1*cos(1—3) - 0*sin(1—3)
y' = 1*sin(1—3) + 0*cos(1—3)

Вычисляем значения:
x' = 1*cos(1—3) - 0*sin(1—3) = cos(1—3) = cos(-2) ≈ 0,177
y' = 1*sin(1—3) + 0*cos(1—3) = sin(1—3) = sin(-2) ≈ -0,985

Таким образом, получаем новую точку P'(0,177; -0,985) на единичной окружности.

2) Во втором вопросе нам нужно найти значения угла а, при которых x = 2.

Для решения этой задачи, снова будем использовать формулы поворота точек на плоскости.
Из условия нам известно, что x' = 2, а y' = 0 (так как точка лежит на оси Ox и соответствует единичной окружности). Мы знаем, что при повороте точки на угол а, координаты точки меняются следующим образом:
x' = x*cos(а) - y*sin(а)
y' = x*sin(а) + y*cos(а)

Подставляем значения x' = 2, y' = 0 и угол а:
2 = x*cos(а) - 0*sin(а)
0 = x*sin(а) + 0*cos(а)

Из второго уравнения видно, что sin(а) = 0. Это означает, что угол а может быть равен 0, π или -π. Так как мы ищем значения угла а в диапазоне от 0 до 2π, то углы -π и π не подходят.

Таким образом, значения угла а, при которых x = 2, равны а = 0.

3) В третьем вопросе нам нужно найти значения угла а, при которых x = 4 и y = -3.

Подставляем значения x' = 4, y' = -3 и угол а в формулы поворота точек:
4 = x*cos(а) - (-3)*sin(а)
-3 = x*sin(а) + (-3)*cos(а)

Упростили уравнения:
4 = x*cos(а) + 3*sin(а)
-3 = x*sin(а) - 3*cos(а)

Далее объединям уравнения:
4*sin(а) - 3*cos(а) = 3*cos(а) + 4*sin(а)

Выражаем sin(а):
sin(а) = 3*cos(а) / (4 + 3)

Извлекаем значение sin(а):
sin(а) = sqrt((3*cos(а))^2) /(4 + 3) = |3*cos(а)| / √(4 + 3)^2 = |3*cos(а)| / √(49)

Выражаем cos(а):
cos(а) = 4*sin(а) / (4 + 3)

Извлекаем значение cos(а):
cos(а) = sqrt((4*sin(а))^2) /(4 + 3) = |4*sin(а)| / √(4 + 3)^2 = |4*sin(а)| / √(49)

Таким образом, значения угла а, при которых x = 4 и y = -3, находятся из уравнений:
sin(а) = 3*cos(а) / √(49)
cos(а) = 4*sin(а) / √(49)

4) В четвертом вопросе нам нужно определить, в какой четверти координатной плоскости лежит точка единичной окружности, соответствующая углу а (4—7).

Чтобы определить четверть, в которой лежит точка на координатной плоскости, нужно рассмотреть знаки координат x и y.

Изображение с: https://askqna.ru/wp-content/uploads/2021/05/1_0_posl_4.jpg

Для первых четырех четвертей (I - IV) x и y имеют следующие соотношения:
в I четверти: x > 0, y > 0
в II четверти: x < 0, y > 0
в III четверти: x < 0, y < 0
в IV четверти: x > 0, y < 0

Для точки на единичной окружности, координаты x и y связаны следующим образом:
x = cos(а)
y = sin(а)

Теперь давайте приступим к решению.
В условии нам дается угол а (4—7). По условию, не указано в каких единицах измеряется угол, поэтому будем считать, что угол измеряется в радианах.

Чтобы определить в какой четверти находится точка на единичной окружности, нужно найти знаки функций cos(а) и sin(а). Затем проверить соответствие с соотношениями для каждой четверти.

В первом вопросе нам дается угол а = 3п.

Вычисляем значения cos(3п) и sin(3п):
cos(3п) = cos(п + 2п) = cos(п) = -1
sin(3п) = sin(п + 2п) = sin(п) = 0

Так как sin(3п) = 0 и cos(3п) = -1, то полученная точка находится в третьей четверти координатной плоскости.

5) В пятом вопросе нам даны значения углов а = -47°, а = –182°, а = 415°. Нам нужно определить в какой четверти находятся соответствующие точки на единичной окружности.

Для решения этой задачи, нам необходимо преобразовать углы из градусов в радианы.

а = -47°
Переводим градусы в радианы:
а = -47° * π/180 ≈ -0,82 рад

а = –182°
Переводим градусы в радианы:
а = -182° * π/180 ≈ -3,18 рад

а = 415°
Переводим градусы в радианы:
а = 415° * π/180 ≈ 7,24 рад

Теперь вычислим значения cos(а) и sin(а) для каждого угла:
cos(-0,82) ≈ 0,667
sin(-0,82) ≈ -0,746

cos(-3,18) ≈ -0,996
sin(-3,18) ≈ -0,088

cos(7,24) ≈ 0,752
sin(7,24) ≈ -0,659

Таким образом, точка находится в следующих четвертях:
для угла а = -0,82 рад, точка лежит в четвертой четверти.
для угла а = -3,18 рад, точка лежит в третьей четверти.
для угла а = 7,24 рад, точка лежит в первой четверти.

6) В шестом вопросе нам даны значения углов а = 2, а = 3,6 и а = 12. Нам нужно определить в какой четверти находятся точки на единичной окружности, соответствующие этим углам.

Для решения этой задачи нам необходимо проверить знаки cos(а) и sin(а) для каждого угла и определить соответствие с соотношениями четвертей.

а = 2
Значения:
cos(2) ≈ -0,416
sin(2) ≈ 0,907

Так как sin(2) > 0 и cos(2) < 0, то точка лежит во второй четверти на координатной плоскости.

а = 3,6
Значения:
cos(3,6) ≈ -0,933
sin(3,6) ≈ -0,358

Так как sin(3,6) < 0 и cos(3,6) < 0, то точка лежит в третьей четверти на координатной плоскости.

а = 12
Значения:
cos(12) ≈ 0,977
sin(12) ≈ -0,216

Так как sin(12) < 0 и cos(12) > 0, то точка лежит в четвертой четверти на координатной плоскости.

7) В седьмом вопросе нам дано уравнение а = 1,8 + 2пk, ke Z. Нам нужно определить в какой четверти находятся точки на единичной окружности, соответствующие этому уравнению.

Для решения этой задачи нам необходимо проверить знаки cos(а) и sin(а) для каждого значения k и определить соответствие с соотношениями четвертей.

Запишем уравнение:
а = 1,8 + 2пk

Подставим значения k = -1, 0, 1 в уравнение и вычислим значения угла а:
k = -1:
а = 1,8 + 2п*(-1) = 1,8 - 2п

k = 0:
а = 1,8 + 2п*0 = 1,8

k = 1:
а = 1,8 + 2п*1 = 1,8 + 2п

Вычисляем значения cos(а) и sin(а) для каждого угла:

для угла а = 1,8 - 2п:
cos(1,8- 2п) ≈ 0,999
sin(1,8- 2п) ≈ -0,018

для угла а = 1,8:
cos(1,8) ≈ 0,998
sin(1,8) ≈ 0,053

для угла а = 1,8 + 2п:
cos(1,8 + 2п) ≈ 0,999
sin(1,8 + 2п) ≈ -0,018

Таким образом, точка находится в следующих четвертях:
для угла а = 1,8 - 2п, точка лежит в первой четверти.
для угла а = 1,8, точка лежит в четвертой четверти.
для угла а = 1,8 + 2п, точка лежит в первой четверти.

Надеюсь, ответы были понятны и подробны. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их!