Вариант 1 •1. Решите неравенство: а) 2x2 - 7x - 9 < 0; б) х2 > 49; в) 4х2 - x + 1> 0. •2. Решите неравенство, используя м (x + 3) (x - 4) (x - 6) < 0

Добрый день! Давайте решим каждое из заданий по порядку.

1.а) Решение неравенства 2x² - 7x - 9 < 0:
Первым шагом нам необходимо разложить левую часть неравенства на множители:
2x² - 7x - 9 = (2x + 1)(x - 9)
Затем запишем полученное выражение в виде таблицы:

| 2x + 1 | x - 9 | 2x + 1 | x - 9
-----------|--------|-------|---------|-------
знак | + | - | - | +
-----------|--------|-------|---------|-------
множитель | >0 | <0 | <0 | >0

Теперь, чтобы найти значения x, удовлетворяющие неравенству, мы должны рассмотреть различные комбинации знаков и получить правильное условие:
случай 1: (2x + 1 > 0) и (x - 9 < 0) -- здесь оба множителя положительные
Из первого условия получим 2x > -1, откуда x > -1/2,
Из второго условия получим x < 9.
Поэтому, в этом случае, получаем -1/2 < x < 9.

случай 2: (2x + 1 < 0) и (x - 9 > 0) -- здесь оба множителя отрицательные
Из первого условия получим 2x < -1, откуда x < -1/2,
Из второго условия получим x > 9.
Этот случай невозможен, поскольку нет таких значений x, которые удовлетворяли бы обоим условиям одновременно.

случай 3: (2x + 1 > 0) и (x - 9 > 0) -- первый множитель положительный, второй -- отрицательный
Из первого условия получим 2x > -1, откуда x > -1/2,
Из второго условия получим x > 9.
Так как значения x должны удовлетворять обоим условиям одновременно, берем только x > 9.

случай 4: (2x + 1 < 0) и (x - 9 < 0) -- первый множитель отрицательный, второй -- положительный
Из первого условия получим 2x < -1, откуда x < -1/2,
Из второго условия получим x < 9.
Поэтому, в этом случае, получаем x < -1/2.

Итак, с учетом всех рассмотренных случаев, решение неравенства 2x² - 7x - 9 < 0 является объединением всех решений, полученных в каждом из них:
x < -1/2 или x > 9

1.б) Решение неравенства x² > 49:
Данное неравенство можно переписать в виде:
x² - 49 > 0
Выражение x² - 49 можно разложить в произведение множителей (x - 7)(x + 7):
(x - 7)(x + 7) > 0
Запишем полученное выражение в виде таблицы:

| x - 7 | x + 7 | x - 7 | x + 7
-----------|--------|-------|--------|-------
знак | - | + | + | +
-----------|--------|-------|--------|-------
множитель | <0 | >0 | >0 | >0

В данном случае, неравенство будет выполнено только если оба множителя будут положительными или равными нулю:
(x - 7 > 0) и (x + 7 > 0) -- здесь оба множителя положительные
Из первого условия получим x > 7,
Из второго условия получим x > -7.
Следовательно, для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы x > 7.

Итак, решением неравенства x² > 49 является отрезок значения x, начиная с 7 и до бесконечности (включая границу), т.е. x ≥ 7.

1.в) Решение неравенства 4x² - x + 1 > 0:
Сначала разложим левую часть неравенства на множители. Поскольку у нас положительный коэффициент перед x², выражение не может быть разложено в произведение множителей.
Для решения такого неравенства нам придется использовать другие методы. Например, можем воспользоваться графиком функции или создать таблицу знаков.

Чтобы построить таблицу знаков, найдем корни квадратного уравнения: 4x² - x + 1 = 0.
Мы можем решить это уравнение, используя дискриминант, формулу корней или метод дополнения квадрата. В данном случае, я воспользуюсь формулой корней.
Если дискриминант (D) = b² - 4ac > 0, то уравнение имеет два действительных корня, если D = 0, то один корень, и если D < 0, то нет действительных корней.
Рассчитаем дискриминант D для нашего уравнения: D = (-1)² - 4 * 4 * 1 = 1 - 16 = -15.
Так как D < 0, то уравнение 4x² - x + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Теперь можно создать таблицу знаков для нашего неравенства:

| 4x² - x + 1 | 4x² - x + 1
-----------|-------------|-------------
знак | + | -
-----------|-------------|-------------
множитель | >0 | <0

Из таблицы знаков видно, что выражение 4x² - x + 1 > 0 будет истинным только в том случае, когда один из множителей положительный, а второй -- отрицательный. Значит, нужно рассмотреть два случая:

случай 1: (4x² - x + 1 > 0) и (4x² - x + 1 > 0) -- оба множителя положительные
Оба множителя положительные, но такого значения x, при котором оба неравенства выполняются одновременно, не существует. Значит, этот случай невозможен.

случай 2: (4x² - x + 1 < 0) и (4x² - x + 1 < 0) -- оба множителя отрицательные
Оба множителя отрицательные, и для положительного числа существуют значения x, при которых оба неравенства выполняются одновременно. Поэтому, рассмотрим этот случай.
Если оба множителя отрицательные, значит нашей целью будет подобрать значения x, при которых их произведение будет отрицательным.

Построим таблицу знаков для каждого из множителей:

| x + 3 | x - 4 | x - 6
-----------|--------|--------|-------
знак | - | + | +
-----------|--------|--------|-------
множитель | <0 | >0 | >0

В соответствии с таблицей знаков, чтобы получить отрицательное произведение, нам нужно, чтобы ровно один множитель был отрицательным.

случай 2.1: (x + 3 < 0) и (x - 4 > 0) и (x - 6 > 0) -- первый множитель отрицательный, следующие два -- положительные
Из первого условия получим x < -3,
Из второго условия получим x > 4,
Из третьего условия получим x > 6.
Итак, в данном случае, верными значениями x будут числа, для которых выполняются эти условия, то есть x > 6.

случай 2.2: (x + 3 > 0) и (x - 4 < 0) и (x - 6 < 0) -- первый множитель положительный, следующие два -- отрицательные
Из первого условия получим x > -3,
Из второго условия получим x < 4,
Из третьего условия получим x < 6.
Поэтому, в данном случае, получаем -3 < x < 4.

Итак, объединяя решения каждого из рассмотренных случаев, мы получаем, что решением неравенства 4x² - x + 1 > 0 является общее объединение двух интервалов значений x: x < -3 или 4 < x < 6.

2. Решение неравенства (x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0:
Чтобы решить это неравенство, мы снова можем построить таблицу знаков, рассматривая каждый множитель отдельно.

Построим таблицу знаков для каждого из множителей:

| x + 3 | x - 4 | x - 6
-----------|--------|--------|-------
знак | + | - | -
-----------|--------|--------|-------
множитель | >0 | <0 | <0

Из таблицы знаков видно, что выражение (x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0 будет истинным только при следующих комбинациях знаков множителей:
Положительный множитель, отрицательный множитель, отрицательный множитель.
Или, чтобы выразить это в виде условия:
(x + 3 > 0) и (x - 4 < 0) и (x - 6 < 0)

Из первого условия получим x > -3,
Из второго условия получим x < 4,
Из третьего условия получим x < 6.

Таким образом, решением неравенства (x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0 является объединение всех интервалов значений x, которые удовлетворяют этим условиям:

-3 < x < 4

Я надеюсь, что данное подробное объяснение и пошаговые решения помогли вам понять, как получить ответы на данные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!