В упражнениях 7.77-7.80 найдите промежутки возрастания
и убывания функций

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с упражнения 7.77. Для того чтобы найти промежутки возрастания или убывания функции, нам нужно проанализировать ее производную. Запишем заданную функцию f(x) и найдем ее производную f'(x):
f(x) = 5x^3 + 2x^2 - 3x - 2
f'(x) = 15x^2 + 4x - 3

2. Теперь мы можем найти критические точки функции f(x), то есть точки, в которых производная равна нулю или не определена. Для этого приравняем f'(x) к нулю и решим полученное уравнение:
15x^2 + 4x - 3 = 0

3. Решим это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта. Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.
D = (4^2) - 4(15)(-3) = 16 + 180 = 196

4. Так как дискриминант D положителен, то у уравнения есть два корня. Используем формулу корней квадратного уравнения x = (-b ± √D) / 2a:
x1 = (-4 + √196) / (2*15) = (-4 + 14) / 30 = 10 / 30 = 1/3
x2 = (-4 - √196) / (2*15) = (-4 - 14) / 30 = -18 / 30 = -3/5

5. Теперь мы имеем критические точки x1 = 1/3 и x2 = -3/5. Нам остается только проверить промежутки между этими точками и за пределами этих точек для определения возрастания или убывания функции.

6. Проверим первый промежуток (-∞, -3/5). Выберем в этом промежутке произвольное значение, например, x = -1. Подставим это значение в производную функции и определим ее знак:
f'(-1) = 15(-1)^2 + 4(-1) - 3 = 15 - 4 - 3 = 8
Так как f'(-1) положительна, это означает, что на промежутке (-∞, -3/5) функция возрастает.

7. Проверим следующий промежуток (-3/5, 1/3). Так же выберем произвольное значение, например, x = 0. Подставим его в производную и определим ее знак:
f'(0) = 15(0)^2 + 4(0) - 3 = -3
Так как f'(0) отрицательна, это значит, что на промежутке (-3/5, 1/3) функция убывает.

8. Последний промежуток для проверки - (1/3, ∞). Возьмем произвольное значение, например, x = 1. Подставим его в производную и определим ее знак:
f'(1) = 15(1)^2 + 4(1) - 3 = 15 + 4 - 3 = 16
Поскольку f'(1) положительная, это означает, что на промежутке (1/3, ∞) функция возрастает.

9. Таким образом, мы нашли промежутки возрастания и убывания для функции f(x) = 5x^3 + 2x^2 - 3x - 2. Ответ: функция возрастает на промежутке (-∞, -3/5) и (1/3, ∞), и убывает на промежутке (-3/5, 1/3).

Пожалуйста, обратитесь, если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется дополнительное объяснение.