в угол вписаны две касающиеся внешним образом окруж-
ности. длина большей из них равна 12 см, расстояние
от ее центра до вершины угла равно 30 см. найдите длину
меньшей окружности.​

Длина окружности вычисляется по формуле

C = 2·π·R

Дано (см. рисунок)

С(2) = 12 см - длина окружности с центром в точке О₂

ОО₂=30 см

Найти: С(1) - длина окружности с центром в точке О₁

Решение.

Из С(2) = 12 см находим радиус большой окружности

2·π·R₂ = 12 см или R₂ = ВО₂ =6/π см .

Длина меньшей окружности равна С(1)=2·π·АО₁ .

Радиусы обоих окружностей перпендикулярны к прямой ОВ, то есть углы О₁АО=О₂ВО. С другой стороны угол АОО₁= ВОО₂ и поэтому верно первый признак подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны..

Тогда по свойству подобных треугольников получим:

ВО₂ : ОО₂=АО₁ : ОО₁

Но ОО₁=ОО₂-О₂Р-РО₁ или ОО₁=ОО₂-ВО₂-АО₁. Тогда

ВО₂ : ОО₂=АО₁ : (ОО₂-ВО₂-АО₁)

Отсюда

ВО₂·(ОО₂-ВО₂) - ВО₂·АО₁ = АО₁ · ОО₂

(ОО₂ + ВО₂)·АО₁ = ВО₂·(ОО₂-ВО₂)

АО₁ = ВО₂·(ОО₂-ВО₂) : (ОО₂ + ВО₂) = 6/π· (30-6/π) : (30 + 6/π)

Теперь вычислим длину меньшей окружности

С(1)=2·π·АО₁ = 2·π·6/π·(30-6/π) : (30 + 6/π)=

=12·(30-6/π) : (30 + 6/π)=12·(30·π-6) : (30·π + 6).

ответ: 12·(30·π - 6)/(30·π + 6)