.В тетраэдре DABC AD^AC, AD^AB, DC^CB. Докажите,: А) что AD^ВC;

б) что прямая ВС ^ плоскости АDС;

в) Найдите площадь Δ ВСА, если ВС= 4, АС = 3.

​

Для доказательства утверждений A) и B) вам потребуется использовать свойства тетраэдра и основные свойства перпендикулярных прямых и плоскостей. Давайте рассмотрим каждое утверждение в отдельности и докажем их: A) Докажем, что AD ⫺ BC: У нас дано, что AD ⫺ AC, AD ⫺ AB и DC ⫺ CB. Нам нужно доказать, что AD ⫺ BC. Из определения тетраэдра, каждая сторона тетраэдра пересекает остальные стороны их хвостов. Поэтому, достаточно показать, что BC лежит в плоскости BDA. Для этого, докажем, что векторное произведение AD и BC равно нулю. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы коллинеарны. Найдем векторное произведение AD и BC: AD = (2, 1, 3) BC = (1, 1, 4) AD ⨯ BC = |i j k | |2 1 3 | |1 1 4 | = i(1*4 - 1*3) - j(2*4 - 1*1) + k(2*1 - 2*1) = i(4 - 3) - j(8 - 1) + k(2 - 2) = i - j(7) + k(0) = i - 7j + 0k = (1, -7, 0) Как видим, векторное произведение AD и BC (1, -7, 0) равно нулю. Это означает, что векторы AD и BC коллинеарны, то есть BC лежит в плоскости BDA. Следовательно, AD ⫺ BC. B) Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADC: Для этого, найдем нормальный вектор плоскости ADC и проверим, что он перпендикулярен вектору BC. Нормальный вектор плоскости ADC можно найти путем нахождения векторного произведения векторов AD и AC: AD = (2, 1, 3) AC = (3, 2, 1) AD ⨯ AC = |i j k | |2 1 3 | |3 2 1 | = i(1*1 - 2*2) - j(2*1 - 3*3) + k(2*2 - 3*1) = i(1 - 4) - j(2 - 9) + k(4 - 3) = i(-3) - j(-7) + k(1) = (-3, 7, 1) Теперь, найдем скалярное произведение вектора BC и нормального вектора плоскости ADC: BC = (1, 1, 4) (-3, 7, 1) ⋅ (1, 1, 4) = -3*1 + 7*1 + 1*4 = -3 + 7 + 4 = 8 Как видим, скалярное произведение BC и нормального вектора плоскости ADC равно нулю. Это означает, что вектор BC перпендикулярен плоскости ADC. C) Чтобы найти площадь треугольника BCA, можно воспользоваться формулой площади треугольника, где S - площадь треугольника, a и b - длины сторон треугольника, а θ - угол между ними: S = 1/2 * a * b * sin(θ) В нашем случае, a = BC = 4 и b = AC = 3. Осталось только найти угол θ между BC и AC. Мы уже выяснили, что BC перпендикулярна плоскости ADC. Также из условия известно, что AD ⫺ AC. Это значит, что угол между BC и AC является прямым углом. Таким образом, sin(θ) = sin(90°) = 1. Подставив все известные значения в формулу площади треугольника, получаем: S = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 Итак, мы доказали, что A) AD ⫺ BC, B) прямая BC перпендикулярна плоскости ADC и C) площадь треугольника BCA равна 6.