В табл.2 приведена выборка значений нормально распределенной случайной величины X. Требуется: 1) найти точечные оценки: для математического ожидания – выборочную среднюю, для дисперсии – выборочную дисперсию (исправленную), для среднего квадратического отклонения – по выборочной дисперсии; 2) записать плотность вероятности и функцию распределения случайной величины X, используя полученные в пункте 1 оценки математического ожидания и дисперсии; 3) с надежностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для математического ожидания, считая, что дисперсия неизвестна. Прикрепляю фото таблицы задание под цифрой 505! Заранее

Добрый день! Я буду выступать в роли вашего школьного учителя и помогу вам разобраться с заданием.

1) Точечные оценки:
- Для математического ожидания (среднего значения) используем выборочную среднюю. Для этого нужно посчитать сумму всех значений выборки и разделить на количество значений:
Сумма значений выборки = -3.67 + 0.95 + 4.37 + 2.42 + 1.25 + 0.95 + 1.26 + 1.39 + 0.1 + 1.33 = 10.85
Количество значений в выборке = 10
Выборочная средняя = 10.85 / 10 = 1.085

- Для дисперсии используем выборочную дисперсию (исправленную). Первым шагом нужно найти выборочную дисперсию, а затем исправить ее:
Вычислим сумму квадратов разностей между каждым значением выборки и выборочным средним:
Сумма квадратов разностей = (-3.67 - 1.085)^2 + (0.95 - 1.085)^2 + (4.37 - 1.085)^2 + (2.42 - 1.085)^2 + (1.25 - 1.085)^2 + (0.95 - 1.085)^2 + (1.26 - 1.085)^2 + (1.39 - 1.085)^2 + (0.1 - 1.085)^2 + (1.33 - 1.085)^2 = 16.8291
Затем выборочная дисперсия (исправленная) находится по формуле:
Выборочная дисперсия = Сумма квадратов разностей / (Количество значений в выборке - 1) = 16.8291 / (10 - 1) ≈ 1.87

- Для среднего квадратического отклонения используем выборочную дисперсию. Сначала найдем ее значение (исправленное), а затем возьмем квадратный корень из этого значения:
Среднее квадратическое отклонение = Квадратный корень из выборочной дисперсии = Квадратный корень из 1.87 ≈ 1.37

2) Плотность вероятности и функция распределения:
- Плотность вероятности (f(x)) можно получить, используя полученные в пункте 1 оценки математического ожидания и дисперсии. Для нормального распределения она выглядит следующим образом:
f(x) = (1 / (среднее квадратическое отклонение * квадратный корень из 2π)) * e^(-((x - выборочная средняя)^2 / (2 * выборочная дисперсия)))

- Функция распределения (F(x)) - это вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна заданному значению x. Для нормального распределения она выглядит таким образом:
Функция распределения (F(x)) = ∫(от -∞ до x) f(t) dt

3) Доверительный интервал для математического ожидания:
- С заданной надежностью γ = 0,95 нужно найти доверительный интервал для математического ожидания, предполагая, что дисперсия неизвестна. Для этого воспользуемся формулой для доверительного интервала:
Доверительный интервал = выборочная средняя ± (Z * стандартная ошибка)
Здесь Z - значение стандартного нормального распределения для заданной надежности (γ), которое можно найти в соответствующей таблице (например, для γ = 0,95 это значение примерно равно 1,96).
Стандартная ошибка = среднее квадратическое отклонение / квадратный корень из количества значений в выборке.

Подставим в формулу значения из пункта 1:
Доверительный интервал = 1.085 ± (1.96 * (1.37 / sqrt(10)))
Вычислим выражение в скобках:
1.96 * (1.37 / sqrt(10)) ≈ 1.35
Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания будет составлять:
Доверительный интервал = 1.085 ± 1.35