В стране сто городов, любые два из них соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление одной дороги так, что из любого города можно будет доехать до любого другого.

Для начала разберемся, как устроена сеть дорог. У нас есть сто городов, и любые два города соединены односторонней дорогой. Давайте представим города вершинами и дороги между ними ребрами.

Если рассмотреть каждую дорогу, то она позволяет перемещаться только в одном направлении. Давайте зададимся вопросом: существует ли путь из каждого города в любой другой город? Другими словами, можно ли из каждой вершины дойти до любой другой вершины, используя только существующие дороги?

Для проверки этого предположения воспользуемся известными свойствами графов. Когда все дороги имеют однонаправленное движение, граф называется ориентированным графом или диграфом. В нашем случае мы имеем сто вершин и некоторое количество ребер.

Мы знаем, что в каждой вершине есть выходящая дорога, т.к. каждый город соединен с другими городами. Если бы в каком-то городе не было выходящей дороги, это означало бы, что из этого города нельзя было бы попасть в другие, что противоречит условию.

Теперь представьте, что вы можете выбрать одну из дорог и поменять ее направление. Для наглядности давайте считаем, что выбранной дорогой является ребро, идущее из города А в город B. После изменения направления этой дороги, вы перевернете ее так, что она будет идти из города B в город A.

Вопрос заключается в следующем: поменяв направление одной дороги, из любого города можно ли все так же доехать до любого другого города?

Чтобы объяснить это, представим, что мы пытаемся достичь города С из любого другого города. Мы можем пройти через город А, и далее продолжать двигаться по дорогам согласно их направлениям. В результате мы достигнем целевого города С.

Теперь рассмотрим другой путь. Мы начинаем с города В. Предположим, что после изменения направления дороги между А и B, из города В нельзя будет достичь города С. Значит, двигаясь из города В, мы не сможем пройти через город А и в итоге не сможем достичь города С.

Но это противоречит нашему предыдущему выводу, что из любого города можно доехать до любого другого. Значит, после изменения направления выбранной дороги, из каждого города все так же можно доехать до любого другого города.

Таким образом, мы доказали, что можно поменять направление одной дороги так, чтобы из любого города можно было доехать до любого другого города.