В соревнованиях «кто кого переговорит» с пятью участниками только Яша и Эля сыграли одинаковое число встреч, а все остальные — различное, причем никакие два участника не встречались друг с другом дважды. Сколько встреч сыграли Эля и Яша?

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Допустим, что Яша и Эля сыграли одинаковое количество встреч, обозначим это число как "х".
2. Остальные три участника, которые не являются Яшей и Элей, должны сыграть разное количество встреч. Предположим, что первый из оставшихся участников (назовем его "А") сыграл "а" встреч, второй участник ("Б") сыграл "б" встреч, а третий участник ("В") сыграл "в" встреч.
3. Так как никакие два участника не встречались друг с другом дважды, значит, сумма встреч каждой пары должна быть различной. Например, сумма встреч Яши с остальными участниками (А,B и В) должна быть различной от суммы встреч Эли с теми же участниками.
4. Найдем сумму встреч Яши с остальными участниками. Яша сыграл "х" встреч с Элей, и предположим, что он сыграл "у" встреч с участником "А", "z" встреч с участником "Б" и "к" встреч с участником "В". Тогда сумма встреч Яши равна: х+у+z+к.
5. Теперь найдем сумму встреч Эли с остальными участниками. Эля также сыграла "х" встреч с Яшей, и предположим, что она сыграла "а" встреч с участником "А", "б" встреч с участником "Б" и "в" встреч с участником "В". Тогда сумма встреч Эли равна: х+а+б+в.
6. Мы знаем, что сумма встреч Яши не должна быть равна сумме встреч Эли, так как никакие два участника не встречались друг с другом дважды. Если мы предположим, что Яша сыграл больше встреч с остальными участниками, тогда сумма встреч Яши будет больше, чем сумма встреч Эли. Аналогично, если предположить, что Яша сыграл меньше встреч, тогда сумма встреч Эли будет больше, чем сумма встреч Яши. Так как Яша и Эля сыграли одинаковое количество встреч, значит, сумма их встреч тоже должна быть одинаковой.
7. Из пунктов 4 и 5 следует, что х+у+z+к = х+а+б+в. Теперь у нас есть равенство, которое можно упростить.
8. Вычитаем х из обоих частей равенства: у+z+к = а+б+в.
9. Мы знаем, что все остальные участники должны сыграть разное количество встреч, поэтому мы можем предположить, что каждый из них сыграл по одной встрече. Заменяем "а" на 1, "б" на 1 и "в" на 1, тогда у и z+k станут равными.
10. Получаем у+z+k = 1+1+1, что равно у+z+k = 3.
11. Мы уже имеем уравнение из пункта 8: у+z+к = а+б+в = 3.
12. Распределяем х между Яшей и Элей. Яша и Эля сыграли одинаковое количество встреч, значит, общая сумма их встреч равна х+х = 2х.
13. Так как мы знаем, что сумма их встреч равна 3, получаем: 2х = 3.
14. Делим обе части равенства на 2: х = 3/2.
15. Значение х равно 3/2, что не является целым числом. Так как количество встреч должно быть целым числом, то данная задача не имеет решения.

Итак, ответ на вопрос задачи "Сколько встреч сыграли Эля и Яша?" - задача не имеет решения. Эля и Яша не могут сыграть одинаковое количество встреч в данной ситуации.