В школьный драмкружок ходит 31 человек. Возрасты участников различны и вместе им 434 года. Докажите, что можно указать 20 кружковцев, которым вместе не менее 280 лет.​

Добрый день! Разберем вашу задачу пошагово.

У нас есть школьный драмкружок, в котором участвует 31 человек. Мы хотим доказать, что можно выбрать 20 участников так, чтобы их суммарный возраст был не менее 280 лет.

Давайте предположим, что это невозможно. Это означает, что наибольшая возможная сумма возрастов любых 20 участников будет меньше 280 лет.

Для каждого участника в кружке обозначим его возраст через a₁, a₂, ..., a₃₁ (a₁ представляет возраст первого участника, a₂ - второго и так далее).

По нашему предположению, сумма для максимальной группы из 20 человек не превышает 280 лет:

a₁ + a₂ + ... + a₂₀ < 280

Теперь у нас есть еще 11 участников, отсутствующих в этой группе. Обозначим их возрасты через a₂₁, a₂₂, ..., a₃₁.

Сумма возрастов в этой группе, состоящей из 11 человек, будет:

a₂₁ + a₂₂ + ... + a₃₁

Суммируя обе группы, мы получим:

(a₁ + a₂ + ... + a₂₀) + (a₂₁ + a₂₂ + ... + a₃₁) < 280 + (a₂₁ + a₂₂ + ... + a₃₁)

Воспользуемся информацией о возрастах всех участников вместе:

(a₁ + a₂ + ... + a₃₁) = 434

Подставим это значение в неравенство:

434 + (a₂₁ + a₂₂ + ... + a₃₁) < 280 + (a₂₁ + a₂₂ + ... + a₃₁)

Мы можем посчитать разность обеих частей следующим образом:

154 < 0

Но это невозможно, так как 154 не может быть меньше нуля.

Таким образом, наше предположение было неверным. Значит, существует такая группа из 20 человек, суммарный возраст которых не менее 280 лет. Доказано!

Пожалуйста, обратитесь, если у вас возникли еще вопросы. Я всегда готов помочь!