:в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани -15 см. найдите боковое ребро.

Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого основание пирамиды — квадрат, а боковые грани — равные  равнобедренные треугольники. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Пусть данная пирамида МАВСD. МО - высота, МН - высота боковой грани ( апофема). Высота МН равнобедренного ∆ ВМА - его медиана. ВН=АН. 

МО перпендикулярна плоскости основания и потому перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через О. 

∆ МОН - прямоугольный. Это "египетский" треугольник с отношением катета и гипотенузы 4:5, следовательно, ОН=9 ( то же получим и по т.Пифагора). 

ОН по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярна АВ, следовательно, треугольник ВОН - прямоугольный равнобедренный ВН=ОН. ВО=ОН√2=9√2. 

По т.Пифагора ВМ=√(МО²+BО²)=√(144+162)=√306=3√34