В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDE с вершиной E точки M и N - середины сторон основания AB и AD точка K - середина бокового ребра EC. Плоскость MNK пересекает высоту пирамиды EH в точке P.

а) Докажите что точка P делит высоту EH в отношении 3:1 считая от вершины.
б) Найдите отношение объёмов двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE.

Добрый день! Давайте рассмотрим вопрос по порядку.

a) Докажем, что точка P делит высоту EH в отношении 3:1.
Для начала обратимся к изображению пирамиды ABCDE.

Шаг 1: Найдем точку K, середину бокового ребра EC. Так как EC - это одно из боковых ребер пирамиды ABCDE, K является серединой этого ребра.

Шаг 2: Найдем точку M, середину стороны AB. Так как MN - это линия, соединяющая точку M с точкой N, а N - середина стороны AD, то M также является серединой стороны AB.

Шаг 3: Находим точку P, пересечение плоскости MNK с высотой EH. Высота EH - это линия, перпендикулярная плоскости основания ABCDE и проходящая через вершину E.

Теперь, чтобы доказать, что точка P делит высоту EH в отношении 3:1, используем теорию подобия треугольников.
Рассмотрим треугольник KEH и KEP.

Шаг 4: Поскольку MNK пересекает высоту EH в точке P, MNK и EH - это сечение двух плоскостей, а значит, проекции этих двух треугольников на плоскость ABCD подобны.

Шаг 5: Воспользуемся теоремой о соотношении площадей подобных фигур, которая утверждает, что соотношение площадей двух подобных фигур равно квадрату соотношения длин их сторон.

Так как EH и EP - это высоты двух подобных треугольников KEH и KEP, то мы можем записать отношение их площадей:
Площадь KEH / Площадь KEP = (EH / EP)²

Шаг 6: Из рисунка видно, что EH - это высота пирамиды ABCDE, а EF - это его боковое ребро. Через точку H проведена высота EK, делающая с EF прямой угол. Обозначим EK за h и площадь основания ABCD за S.

Таким образом, площадь треугольник KEH равна половине площади основания ABCD умноженной на высоту EH:
Площадь KEH = 0.5 * S * h

Аналогично, площадь треугольника KEP равна половине площади основания умноженной на высоту EP:
Площадь KEP = 0.5 * S * EP

Шаг 7: Подставим полученные значения в соотношение площадей:
(0.5 * S * h) / (0.5 * S * EP) = (EH / EP)²

Шаг 8: Упростим выражение и отбросим общие множители:
h / EP = (EH / EP)²

Шаг 9: Возведем обе части уравнения в квадрат:
h² / EP² = EH² / EP²

Шаг 10: Сократим EP² с обеих сторон уравнения:
h² = EH²

Шаг 11: Используем теорему Пифагора в треугольнике EKH:
EK² = EH² + h²

Шаг 12: Заменим h² на EH² в этом уравнении:
EK² = EH² + EH²
EK² = 2EH²

Шаг 13: Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
EK = √(2EH²)

Шаг 14: Также обратим внимание на то, что если мы возьмем отрезок EK и EH, то EH будет равна двум таким отрезкам EK, а мы знаем, что сумма двух отрезков EK равна высоте EH.

Итак, имея общую формулу для отношения EK к EH, мы видим, что EK (отрезок, до которого пересекает плоскость MNK высоту EH) является одной третьей частью EH.

Таким образом, точка P делит высоту EH в отношении 3:1 считая от вершины.

б) Теперь рассмотрим вторую часть вопроса - находим отношение объемов двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE.

Объем пирамиды ABCDE равен одной третьей части произведения площади основания S на высоту EH:
V = (1/3) * S * EH

Шаг 1: Найдем объем одной из частей, на которые разделена пирамида MNK. Обозначим его как V₁.

Высота пирамиды MNK тоже равна одной третьей высоты EH, так как EK = (1/3) * EH, значит, отрезок EP равен (2/3) * EH.

Шаг 2: Чтобы найти площадь основания пирамиды MNK, рассмотрим подобное основание ABCD.

Шаг 3: Так как стороны MN и ND - это отрезки, соединяющие середины сторон AB и AD пирамиды ABCDE, то получаем, что MN и ND являются параллельными отрезками.

Шаг 4: Аналогично, так как стороны MK и KD - это отрезки, соединяющие середины сторон BC и CD пирамиды ABCDE, то получаем, что MK и KD являются параллельными отрезками.

Таким образом, плоскость MNK параллельна плоскости ABCD, а значит, основание пирамиды MNK подобно основанию ABCD.

Шаг 5: Соотношение площадей двух подобных фигур равно квадрату соотношения их сторон. В данном случае мы имеем деление линии EH отношении 3:1, поэтому сторона EP основания MNK равна (2/3) длины AB основания ABCD.

Шаг 6: Поскольку площадь параллелограмма MNKD, полученная из подобных треугольников, равна S₁ = (2/3)² * S = (4/9)S основания пирамиды ABCDE, то площадь основания MNK будет составлять 5/9 от площади основания ABCD: S₁ = (5/9)S.

Шаг 7: Теперь мы можем найти объем пирамиды MNK, использовав найденную площадь основания S₁ и высоту (2/3)EH:
V₁ = (1/3) * S₁ * (2/3) * EH = (2/27) * S * EH

Шаг 8: Наконец, найдем отношение объемов двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE, используя объем пирамиды ABCDE и V₁:
Отношение объемов = V₁ / V
Отношение объемов = (2/27) * S * EH / ((1/3) * S * EH) = (2/27) / (1/3) = (2/27) * (3/1) = 2/9.

Таким образом, отношение объемов двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE, равно 2:9.