В остроугольном треугольнике ABC точки H, I, O — ортоцентр и центры вписанной и описанной окружности соответственно, точки Ia, Ib, Ic — центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC, AC, AB соответственно. Выберите все гарантированно верные утверждения.
биссектриса ортотреугольника является высотой исходного треугольника
высота ортотреугольника является биссектрисой исходного треугольника
биссектриса внешнего угла ортотреугольника является стороной исходного треугольника
I — ортоцентр треугольника IaIbIc
H — центр описанной окружности треугольника
IaIbIc высота ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведённому в соответствующую вершину
биссектриса ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведённому в соответствующую вершину

Давайте посмотрим на каждое утверждение отдельно и проверим, является ли оно верным.

1. Биссектриса ортотреугольника является высотой исходного треугольника.
Это утверждение неверно. Биссектриса ортотреугольника не обязательно будет являться высотой исходного треугольника. Биссектриса проводится из вершины ортотреугольника и делит противоположную сторону пополам. Высота же проводится из вершины и перпендикулярна стороне, проходящей через эту вершину.

2. Высота ортотреугольника является биссектрисой исходного треугольника.
Это утверждение верно. Высота ортотреугольника проходит через вершину ортотреугольника и перпендикулярна противоположной стороне. Так как ортоцентр треугольника совпадает с точкой пересечения всех трех высот, то высота ортотреугольника будет проходить через ортоцентр и перпендикулярна противоположной стороне. Из этого следует, что высота ортотреугольника будет также являться биссектрисой исходного треугольника.

3. Биссектриса внешнего угла ортотреугольника является стороной исходного треугольника.
Это утверждение неверно. Биссектриса внешнего угла ортотреугольника не будет являться стороной исходного треугольника. Биссектриса внешнего угла ортотреугольника проводится из вершины ортотреугольника и делит сумму внешних углов ортотреугольника пополам. Она не имеет никакой связи со сторонами исходного треугольника.

4. I — ортоцентр треугольника IaIbIc.
Это утверждение неверно. I является центром вневписанной окружности треугольника ABC, а не ортоцентром треугольника IaIbIc.

5. H — центр описанной окружности треугольника.
Это утверждение верно. H действительно является центром описанной окружности треугольника ABC. Ортоцентр треугольника, который является точкой пересечения трех высот, всегда совпадает с центром описанной окружности.

6. IaIbIc высота ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведённому в соответствующую вершину.
Это утверждение неверно. IaIbIc не является высотой ортотреугольника. Высота ортотреугольника проходит через вершину ортотреугольника и перпендикулярна противоположной стороне.

7. Биссектриса ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведённому в соответствующую вершину.
Это утверждение верно. Биссектриса ортотреугольника проводится из вершины ортотреугольника и делит его противоположную сторону пополам. Радиус описанной окружности проводится из центра описанной окружности и также проходит через вершину. Так как биссектриса делит сторону пополам и параллельна радиусу описанной окружности, то это утверждение верно.

Итак, гарантированно верными утверждениями являются:
- Высота ортотреугольника является биссектрисой исходного треугольника.
- H — центр описанной окружности треугольника.
- Биссектриса ортотреугольника параллельна радиусу описанной окружности, проведенному в соответствующую вершину.