В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился на ду- эли с тремя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился на дуэли с двумя
графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами и дву-
мя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими
маркизами сразился каждый граф?

6

Пошаговое объяснение:

Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами.

Каждый герцог сразился на дуэли с шестью маркизами.

Пусть М - количество всех маркизов, а ГЕ - количество всех герцогов.

Тогда количество дуэлей между маркизами и герцогами равно:

формула 1:  М*3 = 6*ГЕ = КГЕМ

ГЕ, М, КГЕМ - целые числа, следовательно:

КГЕМ делится без остатка на 3 и на 6 - т.е. просто на 6

То есть:

формула 2:  КГЕМ = 6*Ф

где Ф - какое-то целое число.

Из формулы 1 получаем:

формула 3:  Ф = M/2 = ГЕ

Далее:

Каждый граф сразился на дуэли с тремя герцогами.

Каждый герцог сразился на дуэли с двумя графами.

Пусть ГР - количество всех графов, а ГЕ - количество всех герцогов.

Тогда количество дуэлей между графами и герцогами равно:

формула 4:  ГР*3 = 2*ГЕ = КГГ

ГЕ, ГР, КГГ - целые числа, следовательно:

КГГ делится без остатка на 2 и на 3.

То есть:

формула 5:  КГГ = 2*3*T

где Т - какое-то целое число.

Из формулы 4 получаем:

формула 6:  Т = ГЕ/3 = ГР/2

Из формулы 3 получаем (т.к. Ф = ГЕ):

формула 7:  Т = Ф/3

Далее:

Каждый маркиз сразился на дуэли c двумя графами.

Каждый граф сразился на дуэли с Ч маркизами.

формула 8:  М*2 = Ч*ГР = КГРМ

Если Ч делится на 2 (четное), то:

формула 9:  КГРМ = Ч*У

где У - какое-то целое число.

Из формулы 8 получаем:

формула 10:  У = ГР = М*2/Ч

Из формулы 6 получаем (т.к. T = ГР/2):

формула 11:  У = Т*2

Из формулы 7 получаем:

формула 12:  У = (Ф/3)*2

Из формулы 3 получаем (т.к. Ф = M/2):

Формула 13:  У = М/3

М/3 = М*2/Ч

Ч = 6

Если Ч не делится на 2, то:

формула 14:  КГРМ = 2*Ч*У

где У - какое-то целое число.

Из формулы 8 получаем:

формула 15:  У = ГР/2 = М/Ч

Из формулы 6 получаем (т.к. T = ГР/2):

формула 16:  У = Т

Из формулы 7 получаем:

формула 17:  У = (Ф/3)

Из формулы 3 получаем (т.к. Ф = M/2):

формула 18:  У = (М/2)/3

(М/2)/3 = М/Ч

Ч = 6

ответ: 6