В комнате 4 независимо работающие светильника. Вероятность перегорания лампочки при включении 0.2. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х-числа перегоревших лампочек при одном одновременном включении светильников

Для решения данной задачи нам потребуется знание вероятности и математического ожидания.

Первым шагом определим вероятность того, что одна лампочка перегорит при включении светильника. В данной задаче вероятность равна 0.2.

Далее, поскольку все светильники работают независимо друг от друга, мы можем использовать закон сложения вероятностей. Это означает, что чтобы найти вероятность того, что две или больше лампочки перегорят, мы можем просто сложить вероятности каждой перегоревшей лампочки.

Теперь посчитаем вероятность перегорания одной лампочки (0.2) и вероятность того, что она не перегорит (1-0.2=0.8). Таким образом, вероятность того, что 4 лампочки перегорят, будет равна:

P(X=4) = (0.2)^4 = 0.0016

Теперь рассмотрим другие возможные значения для количества перегоревших лампочек: X=0, X=1, X=2, и X=3.

P(X=0) = (0.8)^4 = 0.4096
P(X=1) = (0.2)*(0.8)^3 = 0.4096
P(X=2) = (0.2)^2*(0.8)^2 = 0.1536
P(X=3) = (0.2)^3*(0.8) = 0.0512

Теперь, чтобы найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, мы умножаем каждое значение X на соответствующую вероятность, а затем суммируем все полученные значения:

E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4)

E(X) = 0 * 0.4096 + 1 * 0.4096 + 2 * 0.1536 + 3 * 0.0512 + 4 * 0.0016

E(X) = 0 + 0.4096 + 0.3072 + 0.1536 + 0.0064

E(X) = 0.8776

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины Х будет равно 0.8776. Это означает, что в среднем, при одновременном включении 4 лампочек, ожидается, что около 0.8776 лампочек перегорят.

Примечание: Здесь мы использовали формулу для расчета математического ожидания для дискретных случайных величин. Формула имеет вид E(X) = Σ x_i * P(X=x_i), где x_i - значение случайной величины, P(X=x_i) - вероятность того, что случайная величина примет значение x_i. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение данной задачи.