В ∆DEC проведена прямая DK так, что
 DKE = CDE; KE = 3 см, KC = 9 cм.
а) Докажите, что ∆DEC ~ ∆KED
б) Найдите DE.

Для доказательства подобия треугольников ∆DEC и ∆KED, нам нужно убедиться, что они имеют одинаковые углы и стороны пропорциональны.

а) Доказательство подобия треугольников:

1. Мы уже знаем, что ∠DKE = ∠CDE по условию задачи.

2. Мы также можем утверждать, что ∠DKC = ∠DCE, так как они являются вертикальными углами.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что углы ∆DKE и ∆DEC совпадают. Таким образом, мы имеем одинаковые углы.

4. Теперь давайте проверим пропорциональность сторон. У нас есть KC = 9 см и KE = 3 см по условию задачи.

5. Мы можем заметить, что стороны ∆DEC и ∆KED являются соответственными сторонами фигур подобия. То есть, сторона DE соответствует стороне DK, сторона DC соответствует стороне KD, и сторона EC соответствует стороне EK.

6. Следовательно, мы можем записать пропорциональность: DE/DK = DC/KD = EC/EK.

7. Так как мы знаем, что KD = KC + CD (по теореме трапеции), то KD = 9 + CD.

8. Подставляя этот результат в пропорциональность из пункта 6, получаем: DE/(9 + CD) = DC/(9 + CD) = EC/3.

9. Из пропорциональности DC/(9 + CD) = EC/3 следует, что DC = (EC/3)*(9 + CD).

10. Заметим, что мы можем сократить (9 + CD) с обеих сторон равенства из пункта 9.

11. Получаем DC = EC/3.

12. Подставим этот результат в пропорциональность DE/(9 + CD) = DC/(9 + CD) = EC/3. Получим DE/(9 + CD) = EC/3.

13. Умножим обе стороны на (9 + CD), получим DE = EC*(9 + CD)/3.

14. Заметим, что это равенство выглядит как правило распределения в алгебре a(b + c) = ab + ac. Поэтому мы можем раскрыть скобки: DE = (EC*9 + EC*CD)/3.

15. Окончательно, мы получаем DE = 9*EC/3 + EC*CD/3, что можно сократить: DE = 3*EC + EC*CD/3.

Таким образом, мы доказали, что ∆DEC ~ ∆KED, и можем использовать пропорции для решения задачи.

б) Найдем DE, используя полученную пропорциональность DE = 3*EC + EC*CD/3.

У нас уже дано, что EC = 3 см из условия задачи.

Для нахождения CD, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ∆DKC: KD^2 = DC^2 + KC^2.

Подставляя известные значения, получаем: KD^2 = DC^2 + 9^2.

Мы также знаем, что KD = 9 + CD из пункта 7.

Подставляем это в предыдущее равенство: (9 + CD)^2 = DC^2 + 9^2.

Раскрываем скобки: 81 + 18CD + CD^2 = DC^2 + 81.

Сокращаем числа 81 на обеих сторонах: 18CD + CD^2 = DC^2.

Теперь у нас есть система уравнений: DE = 3*EC + EC*CD/3 и 18CD + CD^2 = DC^2.

Решаем ее методом подстановки:

1. Подставляем известное значение EC = 3 в первое уравнение: DE = 3*3 + 3*CD/3.

Упрощаем: DE = 9 + CD.

2. Подставляем это во второе уравнение: 18CD + CD^2 = DC^2.

3. Подставляем значение DE = 9 + CD вместо DC: 18CD + CD^2 = (9 + CD)^2.

Раскрываем скобки: 18CD + CD^2 = 81 + 18CD + CD^2.

Сокращаем 18CD и CD^2 на обеих сторонах уравнения: 0 = 81.

Таким образом, мы получаем противоречие. Уравнение 0 = 81 неверно, что означает, что наша система уравнений несовместна.

Это означает, что треугольник ∆DEC и ∆KED не могут быть подобными и мы не можем найти значение DE с помощью заданных условий.