В четырёхугольнике АВСD АВ : ВС : СD = 2 : 3 : 4. Найдите AD, если периметр четырёхугольника равен 24 и четырёхугольник можно вписать в окружность.

Чтобы найти длину стороны AD четырёхугольника АВСD, нам понадобится информация о пропорции отношений длин сторон.

Дано, что АB : BC : CD = 2 : 3 : 4.

Предположим, что значение каждого отношения равно 2x, 3x, и 4x соответственно, где x - некоторое положительное число.

Таким образом, мы можем написать:

AB = 2x, BC = 3x, CD = 4x.

Также в условии дано, что периметр четырёхугольника равен 24. Периметр четырёхугольника равен сумме длин его сторон, поэтому:

AB + BC + CD + DA = 24.

Подставляя найденные значения AB, BC и CD, мы получаем:

2x + 3x + 4x + DA = 24.

Упрощаем это уравнение:

9x + DA = 24.

Также в условии сказано, что четырёхугольник можно вписать в окружность. Это означает, что вторая пара противоположных сторон должна быть равна (AB = CD) и иметь радиус, проходящий через их общую точку (центр окружности). Если Р - центр окружности, то РА и РD - радиусы, а значит, RA = RD.

Теперь мы знаем, что AB = CD и что AD = 2RA.

Заменяя DA в уравнении, полученном из периметра, на 2RA, мы получаем:

9x + 2RA = 24.

Но мы знаем, что RA = RD, значит RA = RD = AD/2, так как AD = 2RA.

Теперь мы можем заменить RA в уравнении:

9x + 2(AD/2) = 24.

Упрощаем выражение:

9x + AD = 24.

Для того чтобы найти AD, нам потребуется выразить его через x.

AD = 24 - 9x.

Теперь нам нужно найти значение x. Для этого мы можем воспользоваться уравнением отношений длин сторон:

AB : BC : CD = 2 : 3 : 4.

У нас есть AB = 2x, BC = 3x и CD = 4x. Мы можем записать:

2x : 3x : 4x = 2 : 3 : 4.

Теперь мы можем составить пропорцию:

2x/2 : 3x/2 : 4x/2 = 2/2 : 3/2 : 4/2.

Упрощаем:

x : 3x/2 : 2x = 1 : 3/2 : 2.

Умножаем второй и третий член на 2, чтобы устранить дроби:

x : 3x/2 * 2 : 2x * 2 = 1 : 3/2 * 2 : 2 * 2.

Упрощаем:

x : 3x : 4x = 1 : 3 : 4.

Мы видим, что полученное отношение равно изначальному. Это означает, что x = 1.

Теперь мы можем найти AD, подставив x = 1 в выражение AD = 24 - 9x:

AD = 24 - 9(1) = 24 - 9 = 15.

Таким образом, длина стороны AD четырёхугольника АВСD равна 15.