В 7^А классе учится 20 человек, и все они очень любят многопользовательские компьютерные игры. Каждый из учащихся играет в одну или две таких игры. При этом для любых 2 учащихся найдется общая игра (в которую играют оба). Найдите наибольшее N, такое, что гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учащихся.

Ответы

sokoldam4 20.01.2023 06:00

Пусть $n_i$ - число учащихся, которые играют в игру $i$ . Нужно отсортировать игры в порядке возрастания $n_i$ . Тогда мы можем получить следующую систему неравенств:

$n_1 + n_2 + \dots + n_{k-1} \le 20$

$n_1 + n_2 + \dots + n_{k-1} + n_k 20$

Где $k$ - наибольший индекс, такой что $n_k \le 20$ . В этой системе неравенств $n_1 + n_2 + \dots + n_{k-1}$ является наибольшим возможным числом учащихся, которые играют в одну из игр $1 \dots k-1$ , а $n_k$ - число учащихся, которые играют только в игру $k$ . Таким образом, наибольшее число $N$ учащихся, которые играют в одну игру, равно $n_1 + n_2 + \dots + n_{k-1}$ . Наша задача - найти наибольшее возможное значение $k$ .

По условию, для любых двух учащихся найдется общая игра. Это означает, что для любой пары $(i, j)$ , $i \ne j$ , выполняется условие $n_i + n_j 1$ . Также из условия $n_1 + n_2 + \dots + n_k 20$ следует, что для любой пары , $1 \le i, j \le k$ , выполняется условие . Если мы присвоим значение $n_i = 1$ всем играм $i$ , то условия выше будут выполнены, но сумма $n_1 + n_2 + \dots + n_k$ будет меньше $20$ . Поэтому мы можем заметить, что если для некоторых $i$ , то сумма $n_1 + n_2 + \dots + n_k$ будет меньше $20$ . Отсюда следует, что все игры $i$ имеют $n_i \ge 2$ . Таким образом, наибольшее число учащихся, которые играют в одну игру, равно $\sum_{i=1}^{k-1} n_i \ge 2(k-1)$ . Поскольку это число должно быть меньше $20$ , то $k-1 \le 10$ , что означает, что $k \le 11$ . Значит, наибольшее число $N$ учащихся, которые играют в одну игру, равно $\sum_{i=1}^{k-1} n_i \ge 2(k-1)$ , где $k$ - наибольший индекс, такой что $n_k \le 20$ . Значит, наибольшее число $N$ учащихся, которые играют в одну игру, равно $2(k-1) = 2(11-1) = 20$ .

ответ: $\boxed{20}$ .

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

kseniayozic 20.01.2023 06:00

Наибольшее число N, при котором гарантированно существует игра, в которую играют не менее N студентов, равно 20. Это объясняется тем, что если каждый студент играет в одну или две игры, и для любых двух студентов есть общая игра, то каждый студент должен играть хотя бы в одну игру, которая является общей для всех 20 студентов в классе. Поэтому наибольшее число N, при котором гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учеников, равно 20.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика