Утрикутнику abc, один з кутів якого дорівнює 48 градусів, довжини сторін задовольняють співвідношення (a-d)(a+c)2+bc(a+c)=ab2 . виразіть уградусах величини двох інших кутів цього трикутника.

Ответы

BlueEyesCatОоак 08.07.2020 10:13

Вчера по этой идее решал но ошибся в вычислениях
$(a-c)(a+c)^2+bc(a+c)=ab^2\\
(a^2-c^2)(a+c)+bc(a+c)=ab^2\\
 (a+c)(a^2-c^2+bc)=ab^2\\
(c-b+a)(a^2+ab-c^2)=0 \\\\
c=b-a0\\
c=\sqrt{a^2+ab}0
$
$1)c=b-a\\
2)c=\sqr{a^2+ab}$
Рассмотрим случаи , когда угол 48а

лежит против стороны

По теореме косинусов
$c^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\\\
$
Положим первое равенство, с выражения c=b-a

, получим
$b^2-2ab+a^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\
2ab(cos48-1)=0\\
 a \neq 0\\
 b \neq 0\\
cos48 \neq 1$
не подходит

случаи
$a^2+ab=a^2+b^2-2ab*cos48\\
ab=b^2-2ab*cos48\\
a=b-2a*cos48\\
b=a(1+2cos48)\\
c=\sqrt{a^2+a*a(1+2cos48)}=2a*cos24\\\\
a+bc\\
a+cb\\
b+ca\\
$ при этом неравенство выполняется
По теореме синусов
$\frac{2a*cos24а}{sin84а}=\frac{a}{sinb}\\
b=arcsin(\frac{sin48а}{2cos24а})=24а\\\\

$
третий угол 180-24-48=108

всего

Положим что 48а

лежит против стороны

$a^2=a^2+c^2-2ac*cos48\\ b^2=2a^2+ab-2a*\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b^2-ab=2a^2-2a\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ 
b=a+2a*cos96 \\
c=2a*cos48\\\\
 \frac{a}{sin48} = \frac{a+2a*cos96}{sinb}\\
 b=36а$
36;48;96

Положим что против стороны

$a^2=b^2+c^2-2bc*cos48\\
a^2=b^2+a^2+ab-2b\sqrt{a^2+ab}*cos48 \\
b=2acos96+a\\ 
c=2a*cos48\\\\
a+bc\\
b+ca\\
a+cb$
при это неравенство треугольников , выполняется

$\frac{1}{sin48} = \frac{2cos96+1}{sinb}\\
 b=arcsin((2cos96+1)*sin48)=36а$
180-36-48=96

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

ПолинаАпгрейт 08.07.2020 10:13

Заменим для удобства a+c=t
(a-c)*t^2+bc*t-ab^2=0
Решим уравнение относительно t:
D=b^2*c^2+4(a-c)*ab^2=b^2c^2+4*a^2*b^2-4cab^2 можно заметить что это полный квадрат:
D=(2ab-bc)^2
но в любом случае
t=(-bc+-|2ab-bc|)/2(a-c)
с каким бы знаком не раскрылся модуль в силу симетрии знаков +- перед модулем то в любом случае будет только 2 одних и тех же решения:
t=(-bc+-(2ab-bc))/(2(a-c)

1)t=(2ab-2bc)/2(a-c)=b
a+c=b ,но по неравенству треугольника это невозможно.
2) t=(-bc-2ab+bc)/(2(a-c)
a+c=ab/(c-a) Откуда ярко видно что с>a
c^2-a^2=ab
Запишем теорему косинусов:
a^2+b^2-2ab*cosA=c^2
b^2-2ab*cosA=c^2-a^2=ab
b-2a*cosA=a b=a+2a*cosA b=a(1+2cosA) cosA=(b-a)/2a=b/2a -1/2
c^2+b^2-2bc*cosB=a^2
с^2-a^2=2bc*cosB-b^2
ab=2bc*cosB-b^2
a=2с*сosB-b
сosB=(a+b)/2c
c=sqrt(ab+a^2)
cosB=(a+b)/(2sqrt(ab+a^2)
cos^2B= (a+b)^2/4(ab+a^2)=(a+b)^2/4(a+b)a=(a+b)/4a=b/4a+1/4
2*cos^2B=b/2a +1/2
cosA=b/2a -1/2
Вычетая поочленно получим:
2*сos^2B-cosA=1
cosA=2*cos^2B-1=cos2B
сosA=cos2B (но тк это углы треугольника),то
A=2B
Один из углов 48
Тогда рассмотрим 3 варианта
1)48+3x=180
x=44
Искомые углы:48,44,88
2)48+96+x=180
Углы 48,96,36
3)24+48+x=180
Углы 24,48,108
Теперь самое сложное нужно понять какой из этих вариантов подходит
второй вариант не подходит тк в нем второй угол тупой
CosB=96<0
но (a+b)/2c>0 ,то есть такое невозможно
Насчет того 1 или второй вариант пока не знаю. Потом подумаю
Пока предварительно ответ таков: или 48,44,88 или 24,48,108 не исключено что оба варианта подходят
Да думаю что скорее всего оба

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика