Уравнение линии второго порядка приведите к каноническому виду; определите тип кривой, постройте ее 9х^2−16у^2−54x−64y=127.

Выделяем полные квадраты:

для x:

9(x²-2·3x + 3²) -9·3² = 9(x1-3)²-81

для y:

-16(y²+2·21 + 2²) +16·2² = -16(y1+2)²+64

В итоге получаем:

9(x-3)²-16(y+2)² = 144

Разделим все выражение на 144

(9(x-3)²/144) - (16(y+2)²/144) = 144/144,

((x-3)²/16) - ((y+2)²/9) = 1,

Данное уравнение определяет гиперболу ((x-3)²/4²) - ((y+2)²/3²) = 1

с центром в точке C(3; -2) и полуосями: a = 4 (действительная полуось); b = 3 (мнимая полуось).

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами с учётом центра (3; -2).

Определим параметр c: c² = a² + b² = 16 + 9 = 25.

c = 5.

Координаты фокусов (3 +-5; -2) = (-2; -2) и (8; -2).

Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = 5/4.  

Асимптотами гиперболы будут прямые: у + уо = ±(b/a)(x - xo).

y = ±(3/4)(x - 3) + 2.