Унас есть гостиница с бесконечным числом в каждом из номеров живет бесконечное число людей. на ресепшен подошел человек и сказал: "есть ли у вас свободные номера? ", на что получил ответ: "да" и был заселен. как администратор гостиницы сделал это?

Он переселил постояльца из номера 1 в2 2в3 и тем самым освободил первый номер. Это как n+1

Для данного случая скажу, в алгебре есть два понятия. Это - исчисляемая бесконечность и неисчесляемая бесконечность. Думаю несложно разобраться по названию. Так вот. В этой ситуации присутствует момент неисчесляемой бесконечности. Получается, что в гостинице просто всех переселили на соседние комнаты, а его поселили в свободную.