Указать область дифференцируемости функции f(z)=sin(z+i) и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Для начала, давайте разберемся, что такое область дифференцируемости функции. Область дифференцируемости - это множество точек, в которых функция определена и в которых она может быть дифференцирована.

Так же перед нами дана функция f(z) = sin(z+i), где z - комплексное число. Давайте разложим эту функцию на составляющие, чтобы мы смогли проанализировать ее и найти ее область дифференцируемости.

У нас есть функция sin(z+i), в которой z+i является аргументом. На самом деле, мы можем выразить это значение следующим образом: sin(z+i) = sin(z)cos(i) + cos(z)sin(i).

Теперь давайте разложим cos(i) и sin(i). Пользуясь формулой Эйлера, мы знаем, что cos(i) = (e^(i*i)+e^(-i*i))/2 и sin(i) = (e^(i*i)-e^(-i*i))/(2i).

Выполним вычисления:
cos(i) = (e^(-1)+e)/(2) ≈ 0.833.
sin(i) = (e^(-1)-e)/(2i) = (1-e^(-2))/(2i) ≈ -0.617i.

Подставим найденные значения обратно в исходное уравнение sin(z+i) = sin(z)cos(i) + cos(z)sin(i):

sin(z+i) = sin(z)*0.833 + cos(z)*(-0.617i).

Таким образом, мы получили выражение для функции f(z).

Чтобы найти область дифференцируемости функции, нужно определить, в каких точках данная функция определена и не является разрывной.

Функция sin(z) определена для любого комплексного числа z, поэтому она является определенной повсюду.

Теперь давайте рассмотрим функцию cos(z). Обратите внимание, что cos(z) - это вещественная функция, а значит, вещественная часть будет равна cos(z), а мнимая часть будет равна 0.

Таким образом, получаем, что действительная часть производной функции f(z) равна: Re(f'(z)) = Re(sin(z)*0.833 + cos(z)*(-0.617i)) = Re(sin(z)*0.833) = 0.833*cos(z).

Мнимая часть производной функции f(z) равна: Im(f'(z)) = Im(sin(z)*0.833 + cos(z)*(-0.617i)) = Im(cos(z)*(-0.617i)) = -0.617*cos(z).

Теперь нам осталось найти производную функции f(z), чтобы определить ее конкретный вид.

Заметим, что функция sin(z) имеет производную cos(z), и функция cos(z) имеет производную -sin(z).

Таким образом, производная функции f(z) будет равна производной sin(z) умноженной на 0.833 (так как cos(i) = 0.833) плюс производную cos(z) умноженной на -0.617i (так как sin(i) = -0.617i).

Таким образом, получаем, что производная функции f(z) равна: f'(z) = 0.833*cos(z) - 0.617i*sin(z).

Итак, область дифференцируемости функции f(z) = sin(z+i) - это все комплексные числа z.

Действительная часть производной f'(z) = 0.833*cos(z).
Мнимая часть производной f'(z) = -0.617*sin(z).

Надеюсь, я представил ответ максимально подробно и понятно! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.