У трикутник ABC вписано коло з центром О:K,M,N - точки дотику відповідно до сторін AB,BC І AC. Доведіть що Mc + AN = CN + AK

Для доведення рівності Mc + AN = CN + AK використаємо властивості вписаного кола трикутника.

За теоремою про дотичні до кола, точка дотику тангенти до кола є точкою, яка лежить на протилежній стороні трикутника. Таким чином, маємо такі рівності:

AM = BM (1) - точка дотику кола до сторони AB розділяє її на дві рівні частини.

BN = CN (2) - точка дотику кола до сторони BC розділяє її на дві рівні частини.

AK = CK (3) - точка дотику кола до сторони AC розділяє її на дві рівні частини.

Природньо, можемо зазначити, що тривимірна точка M лежить на стороні BC, тобто можемо записати:

BC = BM + MC (4)

Підставимо рівності (1) та (2) у (4):

BC = AM + MC + BN

Згрупуємо подібні доданки:

BC = AM + BN + MC

За рівностіми (2) та (3), замінимо BN на CN та AM на AK:

BC = AK + CN + MC

А тепер поміняємо порядок доданків:

BC = CN + AK + MC

Враховуючи, що BC = CN + BN, можемо записати:

CN + BN = CN + AK + MC

Скасуємо спільні доданки з обох боків рівності:

BN = AK + MC

Замінимо BN на CN (за рівності (2)):

CN = AK + MC

Остаточно отримали рівність:

Mc + AN = CN + AK

(5 зірок можна?)