Тупоугольный треугольник ABC вписан в окружность радиуса (27√2)/8 Известно, что длины сторон АС и ВС равны соответственно 9 и 6. Найти длину стороны АВ.

Пусть угол ВАС (вписанный) равен х, тогда угол ВОС как центральный в 2 раза больше, то есть 2х.

Применим теорему косинусов к стороне ВС.

ВС² = 6² + 9² - 2*6*9*cos(x) = R² + R² - 2*R*R*cos(2x).

Используем формулу косинуса двойного угла:

cos 2x = cos²x – sin²x,  cos 2x = 2cos²x – 1,  

cos 2x = 1 – 2sin²x.

6² + 9² - 2*6*9*cos(x) = R² + R² - 2*R*R*(2cos²x – 1),

36 + 81 – 108cos(x) = 2R² - 2R²(2cos²x – 1),

117 – 108cos(x) = 2R²(1 - (2cos²x – 1)),

117 – 108cos(x) = 2R²(1 - (2cos²x – 1)),

117 – 108cos(x) = 2R²(2 - 2cos²(x), подставим  R = 27√2)/8 и заменим cos(x) = t.

117 – 108t = 2((27√2)/8)²*(2 – 2t²),

117 – 108t = (729/16)*(2 – 2t²), получаем квадратное уравнение:

(729/8)t²) – 108t + (117 – (729/8)) = 0,

729t^2 – 864t + 207 = 0,

Ищем дискриминант:

D=(-864)^2-4*729*207=746496-4*729*207=746496-2916*207=746496-603612=142884;

t_1=(2root142884-(-864))/(2*729)=(378-(-864))/(2*729)=(378+864)/(2*729)=1242/(2*729)=1242/1458=23/27~~0,851851851851852;

t_2=(-2root142884-(-864))/(2*729)=(-378-(-864))/(2*729)=(-378+864)/(2*729)=486/(2*729)=486/1458=1/3~~0,333333333333333.

Найдены 2 значения косинуса угла: cos(x) = (23/27) и cos(x) = (1/3).

Получаем 2 значения длины стороны ВС:

ВС = √(6² + 9² - 2*6*9*cos(x)) = √(36 + 81 – 108*(23/27)) = √(117 – (4*23)) = √25 = 5.

ВС = √(6² + 9² - 2*6*9*cos(x)) = √(36 + 81 – 108*(1/3)) = √(117 – 36) = √81 = 9. . Это значение не принимается- оно не соответствует заданию, так как треугольник не будет тупоугольным.

ответ: ВС = 5.