Три натуральных числа a,b,c таковы, что остаток от деления a на c равен остатку от деления b на c и в два раза меньше остатка от деления a на b. докажите, что если число a не больше удвоенного числа b, то полусумма чисел a и b делится на c.​

Пошаговое объяснение:

Не будем забывать, что числа a, b, c - натуральные.

Условие, что остатки от деления чисел a и b на число c равны и вдвое меньше остатка от деления a на b можно записать так:

a = mc + r, b = nc + r, a = kb + 2r. Здесь m, n, k и r - целые неотрицательные числа ( m ≥ 0, n ≥ 0, k ≥ 0, r ≥ 0), причём r < c и 2r < b.

По условию r < 2r, а это значит, что r > 0.

Переходим к доказательству того, что если a ≤ 2b, то (a + b)/c - натуральное число.

Т. к. a = kb + 2r и 0 < 2r < b, то a не кратно b, и случаи a = b и a = 2b не возможны.

Если же a < b, то a = 0 · b + a = 2r, т.е. a = 2r. А т.к. a = mc + r, то

mc + r = 2r → mc = r. Но мы уже знаем, что r > 0. Поэтому и mc > 0, и т.к.

c - натуральное, то m ≥ 1. Отсюда: mc ≥ c > r, и равенство mc = r не возможно, и неравенство a < b тоже не возможно. И поскольку a ≠ b, то b < a < 2b и равенство a = kb + r выполняется лишь при k = 1.

Итак, a = b + 2r и a = mc + r. Отсюда: b + 2r = mc + r и b = mc - r.

Тогда (a + b)/2 = (mc + r + mc - r)/2 = mc, и (a + b)/2 нацело делится на с. Всё доказано.