Точка M, двигаясь по часовой стрелке по окружности (x - 2)2 + (y + 3)2 = 16, сорвалась с неё и при дальнейшем свободном движении пересекла ось Oy в точке A(0; -12). Определить точку B окружности, с которой сорвалась точка M.

Пошаговое объяснение:

Иначе говоря, нам нужно построить касательную к окружности

(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16

проходящую через т. A(0; -12).

А потом вычислить, в какой точке эта касательная пересекает окружность.

Но из одной точки можно провести к окружности две касательных.

Нас интересует та, которая имеет тупой угол наклона к оси Ох.

То есть та, у которой коэффициент k < 0.

Уравнение прямой, проходящей через т. А:

a

k(x - 0) = y + 12

kx = y + 12

y = kx - 12

Касательная пересекается с окружностью только в одной точке.

Это значит, что при подстановке:

(x-2)^2 + (kx-12+3)^2 = 16

Получается уравнение, которое имеет только один корень.

(x-2)^2 + (kx-9)^2 = 16

x^2 - 4x + 4 + k^2*x^2 - 18kx + 81 - 16 = 0

x^2*(k^2+1) + x*(-18k-4) + 69 = 0

Так как уравнение имеет один корень, то D = 0

D = (-18k-4)^2 - 4(k^2+1)*69 = 0

324k^2 + 144k + 16 - 276k^2 - 276 = 0

48k^2 + 144k - 260 = 0

12k^2 + 36k - 65 = 0

D/4 = 18^2 - 12(-65) = 324 + 780 = 1104

k1 = (-18 - √1104)/12 < 0 - подходит.

k2 = (-18 + √1104)/12 > 0 - не подходит.

Итак, коэффициент касательной:

k = (-18 - √1104)/12 = (-18 - 2√276)/12 = (-9 - √276)/6

Прямая: y = (-9 - √276)/6*x - 12

Найдем точку пересечения с окружностью, подставив k в уравнение:

x^2*((-9-√276)^2/36 + 1) + x*(-3(-9-√276) - 4) + 69 = 0

x^2*(81+18√276+276+36)/36 + x*(27+3√276-4) + 69 = 0

x^2*(393+18√276) + x*(23+3√276)*36 + 69*36 = 0

Что-то мне кажется, что где-то ошибка в задании.

Потому что я решил вроде бы без ошибок, а получилось такое уравнение.