Тест по теме «Сфера и шар»

1. Выберите неверное утверждение.
а). сечение шара плоскостью есть окружность;
б). сфера может быть получена в результате вращения полуокружности
вокруг её диаметра;
в). тело, ограниченное сферой, называется шаром;
г). площадь сферы можно вычислить по формуле S = 4πr2.

2. Выберите верное утверждение.
а). отношение объёмов двух шаров равно 8, тогда отношение
площадей их поверхностей равно 4;
б). объём шара радиуса R равен 3/4 πR^3;
в). шаровым сектором называется часть шара, отсекаемая от него
какой – нибудь плоскостью;
г). объём шарового слоя можно вычислить как сумму объёмов двух
шаровых сегментов.

3. Какое сечение шара плоскостью имеет наибольшую площадь?
а). сечение большого круга; б). сечение, перпендикулярное диаметру шара;
в). сечение, параллельное диаметру шара;
г). сечение, проходящее через точку, которая делит диаметр 3:2.

4. Какая фигура является пересечением двух больших кругов шара?
а). отрезок, который является диаметром данного шара; б). окружность;
в). круг; г). отрезок, который является радиусом данного шара.

5. Через всякие ли три точки можно провести сферу?
а). нет, точки, не должны принадлежать одной прямой; б). да;
в). да, если три точки лежат на одной прямой; г). нельзя ответить.

6. Сколько общих точек может иметь сфера и прямая?
а). две, одну, ни одной; б). две; в). одну; г). ни одной.

7. Сколько общих точек может иметь сфера и плоскость?
а). бесконечно много точек, принадлежащих окружности, одну, ни одной; б). одну;
в). ни одной; г). бесконечно много точек, принадлежащих окружности;

8. Шар, радиус которого 5 см, пересечен плоскостью на расстоянии 4 см
от центра. Найти площадь сечения.
а). 9π см2 ; б). π см2; в). 3π см2; г). 81π см2.

9. Через середину радиуса шара проведена плоскость перпендикулярная
к радиусу. Какая часть площади большого круга составляет площадь
круга, полученного в сечении?
а). ¾ большого круга; б). ½ большого круга;
в). 1/4 большого круга; г). 1/8 большого круга.

10. Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере
через точку, проходящую вне сферы?
а). бесконечно много; б). одну; в). две; г). ни одной.

11. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если объём шара равен 288π, а площадь сечения равна 27π.
а). 3; б). 2√3; в). 6; г). 3√2.

12. Объем параллелепипеда, описанного около сферы равен 216. Найти
радиус сферы.
а). 3; б). 6; в). 9; г). 8.
13. Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение радиусов этих шаров?
А) 1/4 Б) 1/2 В) 1/8
14.Какой фигурой является сечение шара, плоскостью?
А) кругом Б) окружностью В) сферой
15.Если радиус сферы уменьшить в 2 раза, то площадь уменьшится:
А) в 4 раза Б) в 2 раза В) в 8раз
16. В формуле S=4πr2 S – площадь :
А) конуса Б) сферы В)цилиндра
17. В формуле V= 2/3 πr 2h V – объем:
А) шарового сегмента Б) шара В) шарового сектора
18.Если радиус шара увеличить в 3раза, то площадь поверхности шара увеличится:
А) в 9 раз Б) в 81 раз В) в 27 раз
19. Отношение объемов двух шаров равно 8. Чему равно отношение площадей их поверхностей?
А) 16 Б) 64 В) 4

1. Ответ: б). сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг её диаметра.
Обоснование: Сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг своего диаметра, что делает это утверждение верным. Окружность - это сечение шара плоскостью, а тело, ограниченное сферой, называется шаром. Поэтому утверждение варианта а) также верно. Формула S = 4πr2 используется для вычисления площади сферы, поэтому и вариант г) верный.
2. Ответ: а). отношение объемов двух шаров равно 8, тогда отношение площадей их поверхностей равно 4.
Обоснование: Правильное отношение площадей их поверхностей можно получить путем квадратного корня от отношения объемов. Поэтому отношение площадей поверхностей равно √8, что равно 2√2 и больше 4, поэтому вариант а) неверный. Объем шара радиуса R равен (4/3)πR^3, поэтому вариант б) неверный. Вариант в) верный, потому что шаровым сектором называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Объем шарового слоя можно вычислить как разницу объемов двух шаровых сегментов, поэтому и вариант г) правильный.
3. Ответ: а). сечение большого круга.
Обоснование: Сечение большого круга плоскостью имеет наибольшую площадь среди всех других вариантов сечений, поэтому ответ a) верный.
4. Ответ: б). окружность.
Обоснование: Пересечение двух больших кругов шара даст окружность, которая будет фигурой, являющейся пересечением этих кругов. Поэтому вариант б) правильный.
5. Ответ: а). нет, точки, не должны принадлежать одной прямой.
Обоснование: Для проведения сферы через три точки они не должны находиться на одной прямой. Поэтому вариант а) правильный.
6. Ответ: в). одну.
Обоснование: Сфера может иметь одну общую точку с прямой, а это место пересечения оси симметрии шара с данной прямой. Следовательно, вариант в) верный.
7. Ответ: г). бесконечно много точек, принадлежащих окружности.
Обоснование: Сфера может иметь бесконечно много точек пересечения с плоскостью, включая центр шара и точки, принадлежащие окружности на границе плоскости. Поэтому вариант г) правильный.
8. Ответ: б). π см2.
Обоснование: Площадь сечения шара может быть найдена по формуле πr^2, где r - радиус сечения. В данном случае, радиус шара равен 5 см, а расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 4 см, значит радиус сечения равен 5-4=1 см. Подставляя этот радиус в формулу, получаем π(1)^2 = π см2.
9. Ответ: б). ½ большого круга.
Обоснование: Площадь круга, полученного в сечении, составляет половину площади большого круга. Поэтому вариант б) верный.
10. Ответ: б). одну.
Обоснование: Через точку, проходящую вне сферы, можно провести только одну касательную плоскость к сфере. Поэтому вариант б) правильный.
11. Ответ: г). 3√2.
Обоснование: Известно, что V = (4/3)πr^3, где V - объем, а S - площадь сечения. Также известно, что V = 288π и S = 27π. Подставляя эти значения в формулу, получаем (4/3)πr^3 = 288π, откуда r^3 = 216 и r = 6. Затем, используя теорему Пифагора, можно найти расстояние от центра шара до плоскости сечения: sqrt(r^2 - (r/2)^2) = sqrt(36 - 9) = 3√2.
12. Ответ: г). 8.
Обоснование: Объем параллелепипеда, описанного около сферы равен 216. Это значит, что радиус сферы равен кубическому корню из 216, что равно 6. Затем, умножаем радиус на 2, чтобы найти диаметр, и получаем 12. И наконец, делим диаметр на 2, чтобы найти радиус сферы, и получаем 8.
13. Ответ: Б) 1/2.
Обоснование: Диаметр одного шара равен радиусу другого шара. Отношение радиусов шаров равно 1, а это значит, что отношение их объемов будет равно (1/2)^3 = 1/8. Поэтому вариант Б) правильный.
14. Ответ: Б) окружностью.
Обоснование: Сечение шара, плоскостью, является окружностью. Поэтому вариант Б) верный.
15. Ответ: А) в 4 раза.
Обоснование: Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса. Если радиус шара уменьшить в 2 раза, то его площадь уменьшится в (2^2 =) 4 раза. Поэтому вариант А) правильный.
16. Ответ: Б) сферы.
Обоснование: Формула S = 4πr^2 применяется для вычисления площади поверхности сферы. Поэтому вариант Б) правильный.
17. Ответ: В) шарового сектора.
Обоснование: В формуле V = (2/3)πr^2h, где V - объем и r - радиус, используется для вычисления объема шарового сектора. Поэтому вариант В) верный.
18. Ответ: А) в 9 раз.
Обоснование: Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса. Если радиус шара увеличить в 3 раза, то его площадь поверхности увеличится в (3^2 =) 9 раз. Поэтому вариант А) правильный.
19. Ответ: В) 4.
Обоснование: Отношение площадей поверхностей шаров равно квадрату отношения их объемов. Если отношение объемов равно 8, то отношение площадей будет (8^2 =) 64. Поэтому вариант В) правильный.